Qual e o número de vértices de um poliedro convexo que tem 9 arestas e 5 faces

 A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e de alguns não convexos. Dessa forma, essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de indicar o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte:

V – A + F = 2

Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.

1º Exemplo:

Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices.

Resolução:

V – A + F = 2

6 – 10 + F = 2

–4 + F = 2

F = 4 + 2

F = 6

O sólido possui, portanto, 6 faces.

2º Exemplo:

Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:

Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar esses elementos da pirâmide de base quadrangular.

Resolução:

Vértices

V – A + F = 2

V – 8 + 5 = 2

V = 2 + 3

V = 5

Arestas

V – A + F = 2

5 – A + 5 = 2

–A = 2 – 10

–A = –8 x(–1)

A = 8

Faces

V – A + F = 2

5 – 8 + F = 2

–3 + F = 2

F = 2 + 3

F = 5

Assim, podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.

3º Exemplo:

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces desse poliedro.

Resolução:

Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x.

Aplicando a relação de Euler:

V – A + F = 2

x – 22 + x = 2

2x = 2 + 22

2x = 24

x = 12

Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a 12.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática 

O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) encontrou uma relação entre os vértices, arestas e faces de qualquer poliedro convexo. Vamos então relembrar algumas definições:

• Poliedro: são sólidos formados pelo encontro de planos;

• Poliedro convexo: um poliedro é dito convexo se suas faces não formam nenhuma “cavidade”. Exemplo de um poliedro não convexo:

• Vértice: é formado pelo encontro de duas retas (arestas);

• Arestas: é a reta formada pelo encontro de duas faces;

• Face: é cada região plana do poliedro, delimitada por arestas.

No paralelepípedo a seguir, vamos identificar o número de faces, arestas e vértices:

No paralelogramo, há 6 “lados” retangulares que representam as faces, assim como a face rosa já contabilizada. Os 12 segmentos de reta pretos representam as arestas, e os 8 pontos vermelhos representam os vértices.

Vejamos o que acontece com um prisma de base pentagonal:

O prisma de base pentagonal possui 7 faces, 10 vértices e 15 arestas. Se você observar bem, nesses dois exemplos há uma relação entre o número de vértices e faces e o número de arestas. Vejamos:

Paralelogramo → 8 V e 6 F ←→ 12 A

Prisma de Base Pentagonal → 10 V e 7 F ←→ 15 A

Some os números de vértices e faces e compare-os com o número de arestas. Você verá que a soma será duas unidades maior que o número de arestas. Se generalizarmos essa ideia, teremos:

V + F = A + 2

Essa equação representa a Relação de Euler. Verifiquemos se ela é válida para outros poliedros:

Seja um poliedro com 4 vértices e 4 faces, qual sua quantidade de arestas?

• V + F = A + 2

• 4 + 4 = A + 2

• A + 2 = 8

• A = 8 – 2

  A = 6 arestas

Tome um poliedro com 6 vértices e 9 arestas, qual seu número de faces?

V + F = A + 2

6 + F = 9 + 2

6 + F = 11

F = 11 – 6

F = 5 faces

*Créditos da imagem: Shutterstock e William Perugini

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Os poliedros são sólidos geométricos limitados por um número finito de polígonos planos. Esses polígonos formam as faces do poliedro.

A intersecção de duas faces é chamada de aresta e o ponto comum de três ou mais arestas é chamado de vértice, conforme indicado na imagem abaixo.

Poliedro convexo e não convexo

Os poliedros podem ser convexos ou não convexos. Se qualquer segmento de reta que liga dois pontos de um poliedro estiver totalmente contido nele, então ele será convexo.

Uma outra forma de identificar um poliedro convexo é verificar que qualquer reta não contida em nenhuma das face e nem paralela a elas, corta os planos das faces em, no máximo, dois pontos.

Teorema de Euler

O Teorema ou Relação de Euler é válido para os poliedros convexos e para alguns poliedros não-convexos. Este teorema estabelece a seguinte relação entre o número de faces, vértices e arestas:

F + V = 2 + A ou V - A + F = 2

Onde,

F: número de faces
V: número de vértices
A: número de arestas

Os poliedros em que a relação de Euler é válida são chamados de eulerianos. É importante notar que todo poliedro convexo é euleriano, porém nem todo poliedro euleriano é convexo.

Exemplo

Um poliedro convexo é formado por exatamente 4 triângulos e 1 quadrado. Quantos vértices tem esse poliedro?

Solução

Primeiro precisamos definir a quantidade de faces e arestas. Como o poliedro possui 4 triângulos e 1 quadrado, então possui 5 faces.

Para encontrar o número de aresta podemos calcular o número total de lados e dividir o resultado por dois, visto que cada aresta é a intersecção de dois lados:

Agora que conhecemos o número de faces e arestas, podemos aplicar a relação de Euler, assim temos:

Portanto, este poliedro possui 5 vértices.

Conhece também Relação de Euler: vértices, faces e arestas.

Poliedros regulares

Os poliedros convexos são regulares quando suas faces são compostas por polígonos regulares e congruentes entre si. Além disso, o número de aresta que concorre em cada vértice é o mesmo.

Devemos lembrar que os polígonos regulares são aqueles que possuem todos os lados e ângulos congruentes, ou seja, com mesma medida.

Existem apenas cinco poliedros regulares convexos, que são também chamados de “Sólidos Platônicos” ou “Poliedros de Platão”. São eles: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, icosaedro.

• Tetraedro: sólido geométrico formado por 4 vértices, 4 faces triangulares e 6 arestas.
• Hexaedro: sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 faces quadrangulares e 12 arestas.
• Octaedro: sólido geométrico formado por 6 vértices, 8 faces triangulares e 12 arestas.
• Dodecaedro: sólido geométrico formado por 20 vértices, 12 faces pentagonais e 30 arestas.
• Icosaedro: sólido geométrico formado por 12 vértices, 20 faces triangulares e 30 arestas.

Prismas

Os prismas são sólidos geométricos que apresentam duas bases formadas por polígonos congruentes e localizados em planos paralelos. Suas faces laterais são paralelogramos ou retângulos.

De acordo com a inclinação das arestas laterais em relação a base, os prismas são classificados em retos ou oblíquos.

As faces laterais dos prismas retos são retângulos, enquanto dos prismas oblíquos são paralelogramos, conforme imagem abaixo:

Pirâmide

As pirâmides são sólidos geométricos formados por uma base poligonal e um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares.

O número de lados do polígono da base corresponde ao número de faces laterais da pirâmide.

Saiba mais sobre o tema:

Curiosidade

Ao estudar os poliedros regulares, o filósofo e matemático grego Platão relacionou cada um deles com os elementos da natureza: tetraedro (fogo), hexaedro (terra), octaedro (ar), dodecaedro (universo) e icosaedro (água).

Exercícios Resolvidos

1) Enem - 2018

Minecraft é um jogo virtual que pode auxiliar no desenvolvimento de conhecimentos relacionados a espaço e forma. É possível criar casas, edifícios, monumentos e até naves espaciais, tudo em escala real, através do empilhamento de cubinhos.

Um jogador deseja construir um cubo com dimensões 4 x 4 x 4. Ele já empilhou alguns dos cubinhos necessários, conforme a figura.

Os cubinhos que ainda faltam empilhar para finalizar a construção do cubo, juntos, formam uma peça única, capaz de completar a tarefa.

O formato da peça capaz de completar o cubo 4 x 4 x 4 é

Esconder RespostaVer Resposta

Para descobrir qual figura se encaixa perfeitamente para formar o cubo 4 x 4 x 4 precisamos contar quantos quadrados faltam.

Observe que as duas camadas de baixo estão completas, portanto só iremos incluir mais cubinhos na duas últimas camadas.

Na imagem abaixo, assinalamos em azul os cubinhos que são necessários para que o cubo fique completo.

Observando os cubinhos assinalados em azul, vemos que a peça única que completa o cubo é igual a da primeira alternativa.

Alternativa: a)

2) Enem - 2017

Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.

A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é

a) tetraedro. b) pirâmide retangular. c) tronco de pirâmide retangular. d) prisma quadrangular reto.

e) prisma triangular reto.