O que é uma raiz quadrada não exata

Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades.

→ Teorema fundamental da aritmética

Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número.

Exemplos:

a) 192 = 25·3

b) 75 = 3·52

c) 300 = 2·3·52

→ Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes

Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes:

A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando.

→ Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração

Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração:

Passo 1: Fatore o radicando

Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética.

Passo 2: Reagrupe os fatores primos

Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando.

Passo 3: Aplique a propriedade I

Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada.

Passo 4: Aplique a propriedade II

Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele.

Passo 5: Cálculo numérico

Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados.

Exemplo:

Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592.

Solução:

Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592:

2592|2 1296|2   648|2   324|2   162|2    81|3    27|3      9|3      3|3

   1|

2592 = 25·34

Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível:

2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2

Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte:

Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19.

Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima.

Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas.

Calculando raízes

Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado.

A representação de raízes é feita da seguinte maneira:

*n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz.

Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a.

L·L·L·L...L·L = a

Raízes exatas e não exatas

Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas:

a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9

b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8

c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16

Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas:

a) Raiz quadrada de 2

b) Raiz cúbica de 3

c) Raiz quarta de 5

Cálculo de raízes não exatas

Caso 1 – Radicando primo

Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31:

Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois:

3,143 = 30,959144

Caso 2 – Radicando não primo

Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz.

Exemplo:

Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule:

Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256:

256|2 128|2   64|2   32|2   16|2    8|2    4|2    2|2

1

256 = 23·23·22

Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe:

Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado:

Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira:

Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação.

4·1,26·1,26 = 6,35

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática