Qual a área de um setor circular de ângulo 30 graus que tem um raio de 5 metros

A área de um setor circular representa a quantidade de espaço ocupada pelo setor. Podemos calcular a área de um setor circular encontrando a área total do círculo e multiplicando-a pelo ângulo do setor em 360°.

A seguir, aprenderemos a calcular a área de um determinado setor circular em graus e radianos. Conheceremos as fórmulas que podemos usar e as aplicaremos para resolver alguns exercícios práticos.

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Aprender a calcular a área de um setor circular.

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Como calcular a área de um setor circular?

Lembremos que um setor circular é uma porção do círculo formada por seus dois raios e por um arco que une os raios. Um exemplo comum de um setor circular é um semicírculo, que representa metade de um círculo.

Podemos encontrar a área de um setor circular considerando que a área será igual à área total do círculo multiplicada por uma fração que representa o setor em relação ao círculo completo.

Por exemplo, suponha que queremos encontrar a área do setor a seguir, que representa um quarto do círculo.

Podemos começar calculando a área do círculo. Então vemos que o raio é igual a 2 unidades. Usando a fórmula $latex A=\pi r^2$, obtemos $latex A=50,265$.

Agora, basta dividir essa área por 4 para obter a área do setor. Portanto, a área do setor é de 12,566 unidades quadradas.

Essa ideia pode ser estendida para encontrar a área de qualquer setor usando as fórmulas abaixo.

Temos duas fórmulas principais que podemos usar para encontrar a área de um setor circular dependendo de como o ângulo do setor circular é expresso.

Área de um setor circular usando graus

Sabemos que um círculo completo tem um total de 360°. Além disso, sabemos que a área de um círculo pode ser encontrada usando a fórmula $latex A=\pi r^2$, onde r é o raio do círculo.

Então, se conhecemos o ângulo do setor, podemos encontrar sua área com a seguinte fórmula:

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$

onde, θ é o ângulo que representa o setor dado em graus e r é o raio do círculo.

Área de um setor circular usando radianos

Um círculo completo tem um total de 2π radianos, que é igual a 360°. Assim, podemos modificar a fórmula acima para usá-la quando tivermos o setor circular definido em radianos.

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2\pi}\times \pi r^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$

onde, θ é o ângulo que representa o setor dado em radianos e r é o raio do círculo.

Área de um setor circular – Exercícios resolvidos

Cada um dos exercícios a seguir tem sua respectiva resposta. Esses exercícios são resolvidos aplicando as fórmulas para a área de um setor circular.

EXERCÍCIO 1

Encontre a área de um setor circular que tem um ângulo central de 30° e um raio de 2 m.

Solução

Neste exercício, temos um setor circular dado em graus, então podemos usar a seguinte função com os valores dados:

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (2)^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{1}{12}\times \pi (4)$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{\pi}{3}$$

A área do setor é $latex \frac{\pi}{3}~m^2$.

EXERCÍCIO 2

Qual é a área de um setor circular que tem um raio de 3 cm e um ângulo central de π/3?

Solução

Como temos um setor circular dado em radianos, podemos usar a segunda fórmula:

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\times (3)^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{\pi}{6}\times 9$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{3\pi}{2}$$

A área do setor circular é $latex \frac{3\pi}{2}~cm^2$

EXERCÍCIO 3

Se um setor circular tem um raio de 4 cm e um ângulo de 40°, encontre sua área.

Solução

O setor circular é dado em graus, então usamos a primeira fórmula com os valores r=4 e θ=40°. Então temos:

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{40^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (4)^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{1}{9}\times \pi (16)$$

$$A_{\text{setor}}=5,585$$

A área do setor é $latex 5,585~cm^2$.

EXERCÍCIO 4

Determine a área de um setor que tem um ângulo de π/4 e um raio de 5 cm.

Solução

Vamos usar a segunda fórmula com os valores r=5 e θ=π/4. Então temos:

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{\frac{\pi}{4}}{2}\times (5)^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{\pi}{8}\times 25$$

$$A_{\text{setor}}=9,817$$

A área do setor circular é $latex 9,817~cm^2$

EXERCÍCIO 5

Encontre a área de um setor circular que tem um ângulo de 140° e um raio de 2,5 cm.

Solução

Usando a primeira fórmula com os valores r=2,5 e θ=140°, temos:

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{140^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (2,5)^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{7}{18}\times \pi (6,25)$$

$$A_{\text{setor}}=7,636$$

A área do setor é $latex 7,636~cm^2$.

EXERCÍCIO 6

Encontre a área de um setor circular que tem um ângulo de 3π/4 e um raio de 3 cm.

Solução

Usando a segunda fórmula com os valores r=3 e θ=3π/4, temos:

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{\frac{3\pi}{4}}{2}\times (3)^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{3\pi}{8}\times 9$$

$$A_{\text{setor}}=10,603$$

A área do setor circular é $latex 10,603~cm^2$

EXERCÍCIO 7

Encontre a área de um setor circular que tem um ângulo de 110° e um raio de 10 cm.

Solução

Usamos a primeira fórmula com os valores r=10 e θ=110° e temos:

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{110^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (10)^2$$

$$A_{\text{setor}}=\frac{11}{36}\times \pi (100)$$

$$A_{\text{setor}}=96$$

A área do setor é $latex 96~cm^2$.

Área de um setor circular – Exercícios para resolver

Use as fórmulas para a área de um setor circular para resolver os exercícios a seguir. Clique em “Verificar” para verificar se sua resposta está correta.

Encontre a área de um setor circular que tem um raio de 4 m e um ângulo de 20°.

Escolha uma resposta

$latex 2,67 ~{{m}^2}$

$latex 2,79 ~{{m}^2}$

$latex 3,14 ~{{m}^2}$

$latex 3,91~ {{m}^2}$

Qual é a área de um setor circular que tem um ângulo de π/5 e um raio de 2 cm?

Escolha uma resposta

$latex 1,257~{{cm}^2}$

$latex 1,831~{{cm}^2}$

$latex 2,171~{{cm}^2}$

$latex 2,859~{{cm}^2}$

Encontre a área de um setor circular que tem um raio de 6 m e um ângulo central de 90°.

Escolha uma resposta

$latex 19,97 ~m^2$

$latex 25,2 ~m^2$

$latex 28,27 ~m^2$

$latex 31,51 ~m^2$

Se um setor circular tem um raio de 5 cm e um ângulo de 2π/3, qual é sua área?

Escolha uma resposta

$latex 17,58 ~cm^2$

$latex 21,45 ~cm^2$

$latex 23,52 ~cm^2$

$latex 26,18 ~cm^2$

Encontre a área de um setor circular que tem um raio de 11 mm e um ângulo central de 150°.

Escolha uma resposta

$latex 131,72 ~{{mm}^3}$

$latex 151,52 ~{{mm}^3}$

$latex 158,39 ~{{mm}^3}$

Nenhuma das anteriores

Veja também

Interessado em saber mais sobre os círculos? Você pode visitar estas páginas:

• Área de um Círculo – Fórmulas e Exercícios
• Área de um Círculo usando Diâmetro – Fórmulas e Exercícios
• Área de um círculo usando circunferência – Exercícios

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