O que são números naturais números inteiros números racionais números irracionais e números reais?

P rimeiro convém começar por esclarecer a noção de conjunto. Qualquer reunião de elementos com características comuns pode ser considerada um conjunto. Assim sendo, podemos ter um conjunto de lápis de cor, um conjunto de frutos ou um conjunto de números. É importante referir que, para um conjunto de elementos ser considerado um conjunto, é necessário poder dizer se determinado elemento pertence ou não ao conjunto. Por exemplo, num conjunto de frutos é fácil dizer que o morango pertence ao conjunto, mas o pão não pertence. Mas se pensarmos num outro conjunto, formado, por exemplo, por pessoas inteligentes, já não pode ser considerado um conjunto porque a noção de pessoa inteligente não é igual para todos. Dentro dos conjuntos de números existem cinco que são considerados fundamentais na matemática. Cada um desses conjuntos possui um símbolo e o seu número de elementos é infinito.

O que é o conjunto dos números naturais?

O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo `NN` e possui os seguintes elementos: `NN = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...}`. Ou seja, são todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. Antes da alteração do programa que houve em 2022, o número zero não fazia parte deste conjunto e para representar o conjunto dos números naturais incluindo o zero, utilizava-se o símbolo `NN_0`, mas esta notação ficou obsoleta a partir de 2022.

O que é o conjunto dos números inteiros?

O conjunto dos números inteiros é representado pelo símbolo `ZZ` e possui os seguintes elementos: `ZZ = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}`. Em determinada altura da história foi necessário representar a noção de perda ou dívida e assim surgiram os números negativos que se juntaram aos números naturais e formaram os números inteiros.

O que é o conjunto dos números racionais?

O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo `QQ` e possui os seguintes elementos: `QQ = {-2,5; -1; 0; 3,(3); 4,521; ...}`. Ou seja, são todos os números inteiros mais as dizimas finitas e infinitas periódicas (números com casas decimais, cuja parte decimal é infinita, mas aparece repetida, por exemplo `10//3`).

O que é o conjunto dos números reais?

O conjunto dos números reais é representado pelo símbolo `RR` e possui os seguintes elementos: `RR = {sqrt(3); pi ; 12; 14,3; ...}`. Aqui estão incluídos todos os números dos conjuntos anteriores e mais as dizimas infinitas não periódicas como é o caso do famoso `pi`.

Não existem mais conjuntos de números?

Sim, existem outros conjuntos, como por exemplo o conjunto dos números complexos representado pelo símbolo `CC`. Ainda existem outros, mas apenas têm interesse para os alunos que pretendem obter uma licenciatura em matemática!

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NUNES, Vitor F. R. "O que são conjuntos naturais, inteiros e racionais?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/conjuntos.php, acedido em 04 de Outubro de 2022.

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Foram feitos 2 comentários/dúvidas.

05 de Março de 2020, 18h42

Mensagem de Raquel

Olá, as raízes fazem parte dos números racionais?

06 de Março de 2020, 10h23

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Raquel,
Depende. Imagina que é a raiz quadrada do número 16. Como o valor dessa raiz é 4, então faz parte do conjunto dos números racionais. Mas, se tomarmos como exemplo a raiz quadrada do número 15, então o resultado vai ser uma dizima infinita não periódica. Assim sendo, este último número não é um número racional, mas sim, irracional. Logo, faz parte do conjunto dos números reais.

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Em resumo, os conjuntos numéricos são a união de números que tem as mesmas características. 

Um conjunto, em conceito, representa a união de elementos que têm atributos semelhantes. Então, dentro da matemática, os conjuntos numéricos reúnem números de características parecidas. 

Esse conteúdo é um dos assuntos que mais caem no Enem, então trouxemos neste artigo um resumo sobre conjuntos numéricos. 

O que são, quais são os conjuntos e subconjuntos e onde você pode encontrar questões que já caíram no Enem para treinar. 

Você vai conferir: 

O que são conjuntos numéricos? 
Os 6 conjuntos numéricos
Questões do Enem sobre conjuntos numéricos para praticar
Conclusão

O que são conjuntos numéricos? 

Os conjuntos numéricos são uma organização de elementos numéricos em grupos classificados pela semelhança entre estes elementos. 

Dentro da matemática, o ramo que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos Conjuntos. 

Essa teoria diz que todos os elementos podem ser agrupados a partir de características semelhantes, desde frutas e animais até os numerais. 

Ao todo, existem seis conjuntos numéricos. 

Eles, como dissemos, são classificados de acordo com características próprias, o que nos gera os conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, irracionais, irreais e complexos. 

Na próxima seção, iremos explorar cada um desses conjuntos em maior profundidade, mas agora, para entender como eles se relacionam entre si, confira algumas de suas propriedades: 

• O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z). 
• O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).
• O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
• Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R). 

Para ficar mais claro ainda, você pode conferir a relação entre os conjuntos na figura abaixo: 

Fonte: todamateria.com.br 

E agora que você já entendeu as propriedades, vamos conferir as características de cada conjunto numérico, seu conceito, símbolo e subconjuntos. 

Números naturais (N)  

O conjunto dos números naturais reúne aqueles números que usamos para contar desde o 0 até o infinito. Este conjunto numérico é representado pela letra N. 

A maior parte dos conjuntos conta com subconjuntos. A lista abaixo engloba os subconjuntos de números naturais: 

• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: é o subconjunto que reúne números naturais não-nulos, ou seja, esse subconjunto não conta com o número 0. 
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: é o subconjunto que reúne os números pares. 
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: ao contrário do subconjunto anterior, este reúne os números ímpares. 
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: este subconjunto dos números naturais reúne os números primos. 

Números Inteiros (Z)  

O conjunto dos números inteiros reúne todos os elementos dos números naturais e seus opostos. Ou seja, além dos números naturais positivos, ele reúne os números negativos também. 

Este conjunto é representado pela letra Z. 

Por conta de o conjunto de números inteiros reunir também números naturais, podemos dizer que o conjunto numérico N faz parte do conjunto numérico Z (N ⊂ Z). 

Quanto aos seus subconjuntos, são estes: 

• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: contendo os números inteiros não-nulos, ou seja, este conjunto não inclui o número 0. 
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: reúne os números inteiros não-negativos. Este subconjunto acaba sendo igual ao conjunto de números naturais. Ou seja, Z+ = N. 
• Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: números inteiros positivos e sem o zero. 
• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: reunindo números inteiros não-positivos. 
• Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: os números inteiros negativos e sem o zero. 

Números racionais (Q)  

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q e reúne todos os elementos que podem ser escritos em forma de fração, além dos números inteiros. 

Dessa forma, todo número inteiro é também um número racional, fazendo com que o conjunto numérico Z seja um subconjunto de Q. 

Além dos números que podem ser escritos em fração, o conjunto dos números racionais também inclui dízimas periódicas. 

Isso porque estes números decimais que se repetem após a vírgula (por exemplo: 0,33333333...), embora possuam casas infinitas, podem ser escritos em forma de fração. 

Quanto aos subconjuntos, confira a listagem: 

• Q*: é o subconjunto que reúne os números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero. 
• Q+: reúne os números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero. 
• Q*+: é o subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero. 
• Q–: subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero. 
• Q*–: reunindo os números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero. 

Números irracionais (I) 

Por sua vez, os números irracionais são o conjunto que reúne os números decimais não exatos, obtidos pela divisão de números inteiros, com uma representação infinita e não periódica. 

Eles também não podem ser representados por meio de frações irredutíveis. 

Por exemplo, o π (Pi), 3,14159..., é um número irracional. Este conjunto é representado pela letra I. 

Os números irracionais, ao contrário dos outros presentes nesta lista, não possuem subconjuntos. 

Números reais (R)  

Já o conjunto dos números reais, representado pela letra R, é formado pelos conjuntos dos números racionais (Q) e irracionais (I). Dessa forma, temos que R = Q U I. 

Também entendemos, por essa relação que, os conjuntos de números naturais, inteiros, racionais e irracionais são subconjuntos dos números reais. 

Porém, é importante observar que mesmo estando dentro de um mesmo conjunto, de números reais, os números irracionais e racionais não são a mesma coisa. 

Por exemplo, um número real pode ser irracional, mas ele não pode ser racional. O contrário também é válido, um número pode ser racional e real, mas não pode ser irracional. 

Quanto aos subconjuntos, esta é a listagem: 

• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
• R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
• R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos. 

Números complexos 

Por fim, os números complexos são compostos por uma parte real e uma parte imaginária. 

Isso significa que eles são formados por números que fazem parte do conjunto de números reais, mas também pelo conjunto de pares ordenados (x, y). 

Dessa forma, o conjunto dos números complexos se define pelas operações de: 

• Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d 
• Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 
• Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc) 

Questões do Enem sobre conjuntos numéricos para praticar 

Agora que você já entendeu o que são os conjuntos numéricos e já conferiu todos os seis conjuntos que existem em resumo, chegou a hora de treinar. 

E não existe forma melhor de treinar para o Enem do que com as questões que já caíram na prova.  

Assim, você consegue não apenas praticar o conteúdo, mas também entender e mecânica das questões. 

Por isso, acesse aqui as edições anteriores do Enem! 

Conclusão 

Esperamos que este resumo sobre conjuntos numéricos tenha sido de grande ajuda para você. 

Falamos aqui sobre o que são os conjuntos numéricos, como eles se organizam em seis grupos e subgrupos e como você pode treinar para o Enem. 

Não deixe de conferir outros artigos no nosso site sobre matemática para o Enem. 

Leia também: 

• Como interpretar questões de matemática do Enem 
• Como acessar a Página do Participante e dicas para o Enem 2022 
• Entenda de uma vez a diferença entre regra de três simples e composta 

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Quais são os números reais?

O que são números inteiros e racionais?