É verdade que a soma de dois números naturais é sempre um número natural?

O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros não negativos. Em outras palavras, todo número que é inteiro e positivo é natural, além disso, como o zero é inteiro, mas não é negativo, ele também é um número natural.

Assim, a lista dos números naturais é a seguinte:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

E assim por diante, seguindo esse mesmo padrão de formação.

Note que essa sequência numérica é a que usamos para contar. Cada um desses símbolos representa uma quantidade, portanto, partindo do nada, uma unidade, duas unidades etc. Uma outra maneira de representar esse conjunto é usando a notação específica para conjuntos, na qual as reticências significam que a sequência continua nessa mesma ordem e padrão de formação:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Nessa notação, N é o símbolo que representa o conjunto dos números naturais.

A ideia de sucessor

O conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros e não contém números repetidos, por isso, é possível escolher, entre dois números naturais distintos, aquele que é maior e aquele que é menor. Quando um número natural x é maior do que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é sucessor de y. Assim:

x é sucessor de y se x + 1 = y

Se olharmos na lista dos números naturais, colocada em ordem crescente, o sucessor de um número natural n é sempre o próximo número à sua direita. Logo:

O sucessor de 7 = 8

O sucessor de 20 = 21

etc.

Perceba também que todo número natural possui sucessor, assim, o sucessor do zero é 1, o sucessor de 1 é 2 …

Essa característica garante que, independentemente do número natural escolhido, e por maior que ele seja, sempre existirá um número natural uma unidade maior que ele. Portanto, o conjunto dos números naturais é infinito.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

A ideia de antecessor

Quando um número natural x é menor que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é o antecessor de y. Assim:

x é antecessor de y se x – 1 = y

Olhando a lista de números naturais em ordem crescente, verificamos que o antecessor de um número natural n é o número à sua esquerda. Logo:

O antecessor de 7 = 6

O antecessor de 20 = 19

etc.

Nem todo número natural possui antecessor. Na realidade, apenas o zero não possui, pois ele é o primeiro número natural e também porque 0 – 1 = – 1, que não é um número natural. Assim sendo, concluímos que o conjunto dos números naturais é limitado.

Sim, é possível que um conjunto seja limitado e infinito ao mesmo tempo. O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente pelo zero, mas ilimitado superiormente e, por isso, é infinito.

Subconjuntos dos números naturais

O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos muito conhecidos:

1 – Conjunto dos números primos (P): é formado por todos os números que são divisíveis apenas por 1 e por si mesmo.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

2 – Conjunto dos números compostos (C): é formado por todos os números que não são primos.

C = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …}

3 – Conjunto dos quadradosperfeitos (Q): é formado por todos os números que são resultados de uma potência em que o expoente é 2.

Q = (1, 4, 9, 16, 25, 36, …)

A adição é uma entre as quatro operações básicas da matemática, sendo a primeira operação a ser estudada. O resultado de uma adição entre dois ou mais números é conhecido como soma, e os números a serem somados são conhecidos como parcelas.

Utilizamos a adição em várias situações que envolvem números em nosso cotidiano, por exemplo, para contar objetivos ou, durante as compras, para saber o valor da conta, entre outras. Existem propriedades importantes na adição, além da existência de um elemento neutro.

Leia também: 5 curiosidades sobre os números

O que é a adição?

A adição é uma operação matemática considerada básica, assim como a subtração, a multiplicação e a divisão. Essa operação é essencial para o nosso cotidiano e está ligada a acrescentar, juntar quantidades. Calcular a adição entre dois números é acrescentar uma certa quantia a outra já existente.

Por exemplo, se tenho 8 bananas e compro mais 5 bananas, a adição é a operação que vai calcular a quantidade total de bananas, acrescentando 5 bananas às 8 que já tenho. Utilizamos o símbolo + (mais) entre os números para representar a adição, por exemplo, 5 + 8 (lê-se: cinco mais oito).

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Elementos da adição

Os termos da adição recebem nomes especiais, o resultado da adição é conhecido sempre como soma, e os números que estamos somando são conhecidos como parcelas.

Exemplo:

5 + 3 = 8

5 e 3 são as parcelas.

8 é a soma.

Cálculo da adição

Para encontrar a soma entre dois ou mais números, recorremos ao seu valor posicional, ou seja, juntamos unidade com unidade, dezena com dezena, centena com centena, e assim sucessivamente.

Um exemplo de adição com números que têm só unidades é entre 5 e 8. Seu resultado contém 1 dezena e 3 unidades, ou seja, é igual a 13, ou seja, 5 + 8 = 13. Adições simples como a que foi feita podem ser calculadas mentalmente, porém quando os números que vamos adicionar são maiores, é bastante comum a utilização do algoritmo de adição.

Para aprender a utilizar a algoritmo de adição, vamos calcular o resultado de 325 + 271.

Colocamos unidade em baixo de unidade, dezena em baixo de dezena, e centena em baixo de centena. Agora realizaremos as somas.

• Unidades: 5 + 1 = 6

• Dezenas: 2 + 7 = 9

• Centenas: 2 + 3 = 5

Então, o resultado da soma será:

325 + 271 = 596

Acontece que, em alguns casos, o resultado da soma das unidades forma uma dezena, como no exemplo a seguir.

Exemplo 2:

Vamos somar 384 + 59.

Primeiro montaremos o algoritmo.

Agora somaremos as unidades, mas note que 4 + 9 = 13, logo, há 1 dezena e 3 unidades. Vamos escrever a unidade abaixo do 9, e, como temos também uma dezena, escreveremos 1 acima do 8, conforme a imagem a seguir:

Agora realizamos a soma das dezenas. A dezena que encontramos na soma das unidades também fará parte da adição, logo, calcularemos 1 + 8 + 5 = 14. Como o resultado da soma das dezenas foi igual a 14, isso significa que temos 4 dezenas e 1 centena, então, repetiremos o processo anterior:

Por fim, somaremos as centenas 1 + 3 = 4.

Então, 384 + 59 = 443.

Veja também: Como identificar se um número é par ou ímpar?

Propriedades da adição

Existem algumas propriedades na adição, são elas: comutativa, associativa, existência de um elemento neutro, e existência de um elemento oposto.

• Propriedade comutativa

Na adição de dois números, a ordem da parcela não altera a soma.

Exemplo:

5 + 8 = 8 + 5

5 + 8 = 13
8 + 5 = 13

• Propriedade associativa

Em uma adição com três ou mais parcelas, independentemente da ordem em que realizamos as somas, o resultado é o mesmo.

Exemplo:

4 + (2 + 1) = (4 + 2) + 1

4 + (2 + 1) = 4 + 3 = 7
(4 + 2) + 1 = 6 + 1 = 7

• Existência de um elemento neutro

O elemento neutro da adição é o 0. Ao realizar a soma de um número com 0, o resultado é sempre o próprio número.

Exemplo:

8 + 0 = 8

• Existência de um oposto

Para todo número diferente de zero, existe um número que é o seu oposto, e soma desse número com o seu oposto é igual a zero.

Exemplo:

5 + (-5) = 0
– 3 + 3 = 0

Veja também: Propriedades dos números pares e ímpares

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Matheus foi à cantina da escola e comprou dois salgados a R$ 4 cada, um refrigerante por R$ 3, e três brigadeiros por R$ 1 cada. O valor gasto por Matheus foi:

A) R$ 14
B) R$ 15
C) R$ 13
D) R$ 12
E) R$ 17

Resolução

Alternativa A. Vamos somar o valor de cada um dos produtos comprados de acordo com as quantidades:

4 + 4 + 3 + 1 + 1 + 1
8 + 3 + 1 + 1 + 1
11 + 1 + 1 + 1
12 + 1 + 1
13 + 1
14

Questão 2 - Para manter a forma, Júlia acorda cedinho e vai até a academia todos os dias. O primeiro equipamento que ela usa é a esteira. Como controle da dieta, ela anota o número de calorias gastas marcado na esteira.

Nesta semana em específico, na segunda-feira, ela gastou 270 calorias; na terça-feira, 210 calorias; na quarta-feira, 304 calorias; e na quinta-feira, 155 calorias. Na sexta feira, no sábado e no domingo, ela não frequentou a academia. O valor total das calorias gastas na esteira foi:

A) 1230 calorias
B) 939 calorias
C) 799 calorias
D) 838 calorias
E) 790 caloria

Resolução

Alternativa B

Calcularemos a soma 270 + 210 + 304 + 155.

Quando somamos dois números naturais O resultado é sempre um?

Qual a soma dos números naturais?

Qual é a propriedade que a soma de números naturais é sempre um número natural?

Como fazer a soma de dois números naturais?