A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela seguinte expressão: Show
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Exemplo: f(x) = 2x2 + 3x + 5, sendo, a = 2 Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável. Como resolver uma função quadrática?Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática: ExemploDetermine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo: f (-1) = 8 Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos: f (-1) =
8 f (0) = 4 f (2) = 2 Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4. Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e b): (Equação I) a - b + 4 = 8 Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b: (Equação III) 4a + 2b + 4 = 2 Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo: (Equação I) a - b + c = 8 Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são: a = 1 Raízes da FunçãoAs raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau: f(x) = ax2 +bx + c = 0 Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados é aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja: ExemploEncontre os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6. Solução:Sendo Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: Portanto, as raízes são 2 e 3. Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminante. Assim,
Gráfico da função quadráticaO gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Diferente das funções do 1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções quadráticas são necessários conhecer vários pontos. A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em no máximo dois pontos dependendo do valor do discriminante (Δ). Assim, temos:
Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo ou mínimo da função. Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula: O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver voltada para baixo e o valor mínimo quando estiver para cima. É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do coeficiente a. Se o coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for negativo ficará para baixo, ou seja: Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o valor do a, calcular os zeros da função, seu vértice e também o ponto em que a curva corta o eixo y, ou seja, quando x = 0. A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, por meio da ligação entre os pontos encontrados. Aprenda O que é função. Exercícios de Vestibular com Gabarito1. (Vunesp-SP) Todos os possíveis valores de m que satisfazem a desigualdade 2x2 – 20x – 2m > 0, para todo x pertencente ao conjunto dos reais, são dados por: a) m > 10 Ver Resposta Alternativa b) m > 25 2. (UE-CE) O gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx é uma parábola cujo vértice é o ponto (1, – 2). O número de elementos do conjunto x = {(– 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} que pertencem ao gráfico dessa função é: a)
1 Ver Resposta Alternativa b) 2 3. (Cefet-SP) Sabendo que as equações de um sistema são x . y = 50 e x + y = 15, os possíveis valores para x e y são: a) {(5,15), (10,5)} Ver Resposta Alternativa e) {(5,10), (10,5)} Leia também:
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011. Quando a parábola não toca o eixo X?∆ = 0: a parábola irá cortar em apenas um ponto o eixo x. ∆ < 0: a parábola não irá cortar o eixo x.
Como saber se a parábola intercepta o eixo X?A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) e o eixo das ordenadas (y). Dada uma função do 2º grau representada pela expressão y = ax² + bx + c, para descobrirmos se a parábola intersecta eixo x, devemos fazer y = 0 e resolver a equação do 2º grau com base na expressão ax² + bx + c = 0.
Quando no gráfico de uma função quadrática a parábola não intercepta o eixo X podemos dizer que o Delta será?Terceira condição: Quando Δ < 0, a função não possui raiz real; logo, a parábola não intercepta o eixo x.
Como saber onde a função corta o eixo X?Se o delta é maior que zero (positivo), o gráfico “corta” o eixo x em dois pontos, ou seja, temos x' e x''. Se o delta é igual a zero, o gráfico “corta” o eixo x em um ponto, ou seja, x' = x''. Se o delta é menor que zero (negativo), o gráfico não “corta” o eixo x, pois não existem raízes.
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