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Operação matemática relacionada à multiplicação Na área da matemática, a raiz quadrada auxilia na resolução de vários problemas, entre eles as equações de segundo grau e o Teorema de Pitágoras. Representação raiz quadrada. Note que o índice da raiz quadrada é dois, mas não aparece na expressão pois é uma exceção. O conceito foi criado por matemáticos árabes. Eles imaginavam um número, por exemplo 25, e diziam que ele havia crescido de uma "raiz quadrada" com área igual a 25. Era preciso, então, "extrair a raiz" e perceber que cada lado do quadrado media 5. A ideia foi adotada por matemáticos europeus no fim da Idade Média. Símbolo da Radiciação n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo. ... Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo. Potência é aquilo que tem poder, força, vigor e importância. ... Como visto no exemplo acima, o fato do expoente ser o número 3, significa que a base (número 2) deverá ser multiplicada três vezes por si mesma, para então ser encontrada a potência desta equação. A potenciação é um conteúdo que, mesmo não presente na vida cotidiana, é fundamental para avançar no pensamento matemático. Além de útil para representar números complicados, como números muito grandes ou muito pequenos, o uso da potência facilita também as operações. As potências possuem inúmeras aplicações no cotidiano, os cálculos envolvendo juros compostos são desenvolvidos baseados na potenciação das taxas de juros, a função exponencial também é um exemplo onde utilizamos potências, a notação científica utiliza potências no intuito de representar números muito grandes ou ... A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas. Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A raiz quadrada é uma operação básica da Matemática. A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata. Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas Resumo sobre raiz quadrada
Videoaula sobre raiz quadradaNão pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Radiciação e a relação com a raiz quadradaA radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada. Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81. O que é raiz quadrada?A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando. Exemplos: √4 = 2, pois 2² = 4 √9 = 3, pois 3² = 9 √16 = 4, pois 4² = 16 √25 = 5, pois 5² = 25 Como calcular a raiz quadrada?Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata. Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações. Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata. Exemplo: Calcule o valor da √324. Resolução: Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número: Dessa forma, calcula-se: √0 = 0 √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado. Exemplo: Calcule o valor da √60. Resolução: Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64. √49 < √60 < √64 Calculando as raízes de 49 e 64: 7 < √60 < 8 Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8. 7,9² = 62,41 7,8² = 60,84 7,7² = 59,29 Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8. Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso. Exercícios resolvidos sobre raiz quadradaQuestão 1 (Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA. A) 35 B) 24 C) 25 D) 17 E) 49 Resolução: Alternativa C Inicialmente, realizaremos a fatoração do número: Dessa forma, temos: √625 = √54 √625 = 5² √625 = 25 Questão 2 Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir: I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo. II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20. III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3. As afirmativas são, respectivamente: A) V, V e V. B) F, F e F. C) F, F e V. D) F, V e F. E) V, F e V. Resolução: Alternativa D I → Falsa A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo. II → Verdadeira Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30. III → Falsa 3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.
Em matemática, a raiz quadrada de x {\displaystyle x} é um número positivo y {\displaystyle y} que, multiplicado por si próprio, iguala-se a x {\displaystyle x} .[1] Todo número real não negativo possui uma única raiz quadrada não negativa, chamada de raiz quadrada principal, a qual é denotada pelo símbolo x {\displaystyle {\sqrt {x}}} . Por exemplo, 3 é a raiz quadrada de 9, ou seja, 9 = 3 {\displaystyle {\sqrt {9}}=3} , pois 3 × 3 = 3 2 = 9 {\displaystyle 3\times 3=3^{2}=9} . Embora ( − 3 ) 2 = 9 {\displaystyle (-3)^{2}=9} , este valor não deve ser considerado como raiz porque o seu símbolo não significa "raiz quadrada", mas sim a raiz quadrada não negativa. Esta é a razão de ser obrigatório o sinal de ± {\displaystyle \pm } na frente do símbolo {\displaystyle {\sqrt {}}} da Fórmula de Bháskara, utilizada na resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos. O primeiro uso do atual símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (do latim, raiz). Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de reta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raiz quadrada do inicial.[2] PropriedadesAs seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:
A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; x {\displaystyle {\sqrt {x}}} é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois). Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado. Admita-se que x e a são reais, e que x 2 = a {\displaystyle x^{2}=a} , e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} . Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x2 não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} ou, de outra forma, que x = ± a {\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}} Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade: x − y = x − y x + y {\displaystyle {\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}} O mesmo é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero. A função f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} tem o seguinte gráfico: A função, cujo domínio é o conjunto dos números reais não negativos é contínua, monótona e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive da tangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por f ′ ( x ) = 1 2 x {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial: x + 1 = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 2 ) ! n ! ( n − 1 ) ! 2 2 n − 1 x n = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + … {\displaystyle {\sqrt {x+1}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!(n-1)!2^{2n-1}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots } para | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} . Meios de calcular a raiz quadradaAs dificuldades de computar raízes quadradas usando-se números romanos e a notação romana para frações levou Vitrúvio a a declarar que extrair a raiz quadrada de 200 não pode ser feito por números [3]. CalculadorasAs calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas, tais como o método de Newton (frequentemente com uma estimativa inicial igual a 1), para computar a raiz quadrada de um número real positivo.[4][5] Ao computar raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo, pode-se explorar a identidade a = e ( ln a ) / 2 {\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}} Calculando a raiz quadrada manualmente: Por exemplo, calcularemos a raiz quadrada de 2. √2|1,41... -1 |2 4|28 1 100| 4| 1 -96 | 400 -281 Seguindo estes passos irás conseguir sem um professor:
Método babilônicoUm algoritmo frequentemente usado para aproximar n {\displaystyle {\sqrt {n}}} é conhecido como "método babilônico" (porque, especula-se, este era o método usado na Matemática Babilônica para calcular a raiz quadrada,[6] e é o mesmo obtido ao aplicar-se o Método de Newton à equação x 2 − n = 0 {\displaystyle x^{2}-n=0} Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:
Este algoritmo é quadraticamente convergente, que significa que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição. Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam de muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas). Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão: Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.
Esse seria aproximadamente a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora teremos: 8,12403840463596... Ou seja, esse é um bom método para se achar aproximadamente uma raiz quadrada. Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longaEste método, apesar de muito mais lento que o método Babilônico, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raiz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito. Escreva o número em decimal e divida-o em pares de dígitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raiz quadrada final aparecerá acima do número original. Para cada iteração: Traga para baixo o par o mais significativo dos dígitos ainda não usados e adicione-os a todo o restante. Este é o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que não faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dígito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e não houver mais dígito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se não continue com etapa 1. Exemplo: Que é a raiz quadrada de 152,2756? Embora demonstrado aqui para números da base 10, o procedimento trabalha para algumas bases, incluindo a base 2. Na descrição acima, 20 meios dobram a base de número usada, no exemplo de binário isto seriam realmente 100. que o algoritmo está no fato muito mais fácil de executar na base 2, como em cada etapa somente os dois dígitos 0 e 1 têm que ser testados. Equação de PellA equação de Pell permite encontrar a parte inteira de uma raiz quadrada simplesmente subtraindo inteiros ímpares. Por exemplo, para calcular a parte inteira da raiz quadrada de 19, calcula-se a sequência: 1. 19 – 1 = 18 2. 18 – 3 = 15 3. 15 – 5 = 10 4. 10 – 7 = 3Como 3 é menor que 9, a sequência para aqui. Como 4 subtrações foram efetuadas, então a resposta é 4 Ou seja, para calcular a parte inteira da raiz quadrada n de um número inteiro positivo m, pode ser usado o seguinte trecho de programa: n = 0 i = 1 while (m >= i){ m = m – i; i = i + 2; n = n + 1; }Observe-se que se n é a raiz exata, o valor final de m é zero. Encontrando raízes quadradas usando aritmética mentalA Equação de Pell é um método para obter a raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares. Ex: Para obter 27 {\displaystyle {\sqrt {27}}} nós começamos com a seguinte sequência:
5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5. Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1 2 × 100 = 200 {\displaystyle 2\times 100=200} e 5 × 20 + 1 = 101 {\displaystyle 5\times 20+1=101}
O próximo número é 1. Em seguida efetua-se: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1 99 × 100 = 9900 {\displaystyle 99\times 100=9900} e 51 × 20 + 1 = 1021 {\displaystyle 51\times 20+1=1021}
O próximo número é 9. O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27. Método das Frações ContinuadasIrracionais Quadráticos, que são os números envolvendo raízes quadradas na forma (a+√b)/c, são compostos por períodos de frações continuadas. Isto faz com que elas sejam fáceis de serem calculadas recursivamente, dado o período. Por exemplo, para calcular √2, nós temos que usar o fato de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], e usar a relação recursiva: an+1=1/(2+an) com a0=0 para obter √2-1 dada uma precisão especificada por n níveis de recursividade, e adicionar 1 ao resultado para obter √2. Raiz quadrada de números complexosPara todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = r exp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raiz quadrada é holomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). A série de Taylor acima para √(1+x) continua válida para números complexos x com |x| < 1. Quando o número complexo está na forma retangular, a seguinte fórmula pode ser usada: x + i y = | x + i y | + x 2 ± i | x + i y | − x 2 {\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}} onde o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original. Perceba que, por causa da natureza descontínua da função raiz quadrada no plano complexo, a regra z w = z w {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}} é em geral falsa. Se for tomada erroneamente como verdadeira, esta regra pode levar a numerosas "provas" erradas, como por exemplo a seguinte prova real que mostra que -1 = 1: − 1 = i 2 = ( − 1 ) 2 = − 1 × − 1 = 1 = 1 {\displaystyle -1=i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {-1\times -1}}={\sqrt {1}}=1} A terceira igualdade não pode ser justificada. Porém, a regra pode estar errada apenas até um fator -1, z w = ± z w , {\displaystyle {\sqrt {zw}}=\pm {\sqrt {z}}{\sqrt {w}},} é verdadeiro para ambos ± tanto + como - (mas não ambos ao mesmo tempo). Perceba que c 2 = ± c , {\displaystyle {\sqrt {c^{2}}}=\pm c,} portanto a 2 b 2 = ± a b {\displaystyle {\sqrt {a^{2}b^{2}}}=\pm ab} e finalmente z w = ± z w , {\displaystyle {\sqrt {zw}}=\pm {\sqrt {z}}{\sqrt {w}},} com o uso de = a = z {\displaystyle a={\sqrt {z}}} e b = w . {\displaystyle b={\sqrt {w}}.} Raízes quadradas de matrizes e operadoresSe A é uma matriz positiva definida (ou um operador positivo definido), então existe exatamente uma matriz positiva definida (idem para operador) B tal que B² = A; definimos A = B {\displaystyle {\sqrt {A}}=B} Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória. Raiz quadrada dos 20 primeiros números naturais
Referências
Ligações externas
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