Expresse cada número como uma raiz quadrada 0

(B) 7. (C) 57. (D) 1 2 . OBMEP MATEMÁTICA – 9.° ANO 8 RADICIAÇÃO Acompanhe essa situação-problema: 1.ª situação Observe o quadrado ao lado. Usando o quadradinho como unidade de área, é possível afirmar que a área deste quadrado é 25 (5² = 25). Sabendo-se que a área do quadrado é de 25 e que cada lado do quadradinho que compõe a figura mede 1, vamos calcular a medida do lado desse quadrado. Essa medida é determinada por um número que, elevado ao quadrado, resulta 25. Esse número é a raiz quadrada de 25. Assim: 2.ª situação Agora, observe esse cubo: Não existe, no conjunto dos números reais, raiz de índice par para números negativos. −𝟗 não existe em IR porque (–3)² = 9. 𝟒 −𝟏𝟔 não existe em IR porque (–2)4 = 16. 25 = 5, pois 5² = 25 Lemos: “raiz quadrada de 25”. h tt p s :/ /w w w .a li e x p re s s .c o m Considerando o cubinho como unidade de medida de volume, o volume do cubo é de 125 (5³ = 125). Sabendo-se que o volume do cubo é 125 (cubinhos) e que a medida da aresta de um cubinho é 1, vamos calcular a medida da aresta do cubo. Essa medida é determinada por um número que, elevado ao cubo, resulta 125. Esse número é a raiz cúbica de 125. Veja: 3 125 = 5, pois 5³ = 125 Lemos: “raiz cúbica de 125”. ARESTA DO CUBO O conjunto dos NÚMEROS REAIS é representado pela letra IR e nele estão contidos todos os números que conhecemos até agora: naturais (ℕ), inteiros (ℤ), racionais (ℚ) e irracionais (𝕀). MATEMÁTICA – 9.° ANO 9 RADICIAÇÃO Então: a) 3 8 = 2 porque 2³ = 8 b) 3 −27 = −3 porque (–3)³ = – 27 c) 3 1 000 = 10 porque 10³ = 1 000 d) 4 16 = 2 porque 24 = 16 e) 5 −32 = −2 porque (–2)5 = –32 Sendo a e b números reais e n, número inteiro positivo maior que 1, define-se: . E lemos: “A raiz enésima de a é b.” Na expressão, temos: Raiz quadrada, raiz cúbica... Será que existem outras raízes? Observe! AGORA, É COM VOCÊ!!! 1- Expresse cada número como uma raiz quadrada: a) 5 = _____________ b) 6 = _____________ c) 12 = ____________ d) 5,2 = ____________ 2- Calcule o valor de cada raiz: a) 49 = _____________ b) 121 = ____________ c) 9 16 = ____________ d ) 0,81 = ____________ 3- Calcule, mentalmente, o valor de cada expressão: a) 49 − 5 = _____________________ b) − 16 + 36 = __________________________ c) 3 8 + 25 = ____________________________ d) 5 1 + 81 = _____________________________ 𝟐𝟓 MATEMÁTICA – 9.° ANO 10 4- Resolva cada uma dessas raízes: a) 256 = _____ b) 3 216 = _____ c) 4 256 = _____ d) 1 764 = _____ e) 5 243 = _____ f) 1 600 = _____ Para extrair a raiz de números maiores, basta decompor o número, em fatores primos e agrupá- los conforme o índice do radical. Depois, é só multiplicá- los. Observe o quadro ao lado. Decompondo o número 3 600, em fatores primos (fatoração), temos: Então: 3 600 = 22 ∙ 22 ∙ 32 ∙ 52= = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60 NÚMEROS PRIMOS São aqueles que possuem apenas dois divisores: o 1 e o próprio número. CONJUNTO DOS NÚMEROS PRIMOS {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...} MATEMÁTICA – 9.° ANO 11 LOCALIZAÇÃO DE UMA RAIZ NA RETA NUMÉRICA Somente os números quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata. Por exemplo: o número 49 possui raiz quadrada igual a 7, pois 7² = 49. Então, dizemos que ele é um número quadrado perfeito. Na reta numérica, podemos observar outros números considerados quadrados perfeitos. Leia: Quanto aos números que não são quadrados perfeitos, a localização da raiz quadrada é realizada utilizando-se resultados aproximados. Por exemplo: vamos verificar a localização da raiz quadrada aproximada do número 30. De acordo com a reta numérica, a 30 está localizada entre a raiz quadrada dos seguintes números quadrados perfeitos: 25 e 36. Dessa forma, temos que: 25 = 5 e 36 = 6. Portanto, a 30 possui, como resultado, um número decimal entre 5 e 6. Leia: Muito tranquilo! Observe a reta numérica. Agora, é com você! Qual a letra que corresponde a cada uma das raízes quadradas abaixo? 0 1 2 9 10 113 4 5 6 7 8 𝟎 𝟏 𝟒 𝟗 𝟏𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟏𝟔𝟒𝟒𝟗𝟑𝟔𝟐𝟓𝟏𝟔 0 1 2 9 10 113 4 5 6 7 8 𝟎 𝟏 𝟒 𝟗 𝟏𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟏𝟔𝟒𝟒𝟗𝟑𝟔𝟐𝟓𝟏𝟔 ( ) 53 ( ) 2 ( ) 20 ( ) 36 ( ) 12 0 1 2 9 10 113 4 5 6 7 8 A B C D E MATEMÁTICA – 9.° ANO 12 POTÊNCIA DE EXPOENTE FRACIONÁRIO Se a é um número real positivo e 𝐦 𝐧 é um número racional, com m e n inteiros e n ≥ 2, definimos que: Exemplos: a) 6 3 5 = 5 63 b) 5 1 2 = 5 Observe: 1- Escreva em forma de expoente fracionário: a) 5 32 ________ c) 4 𝑥3 ________ e) 73 ________ b) 3 72 ________ d) 3 6 ________ f) 3 ________ 2- Escreva em forma de radical: a) 5 2 3 ________ c) 2 1 3 ________ e) 3 4 5 ________ b) 𝑎 3 4 ________ d) 𝑥 3 2 ________ f) 7 1 2 ________ As propriedades válidas para as potências de expoente inteiro são válidas também para as potências de expoente fracionário que tenham base positiva. Exemplos: * 7 1 5 ∙ 7 2 5 = 7 1 5 + 2 5 = 7 3 5 *3 7 6 ∶ 3 2 6 = 3 7 6 − 2 6 = 3 5 6 * 5 2 3 1 3 = 5 2 3 ∙ 1 3 = 5 2 9 AGORA, É COM VOCÊ!!! Leia as dicas, com atenção, para realizar as atividades com maior facilidade! 5 63 = 6 3 5 expoente do radicando índice do radical 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑎𝑚 (com n 𝜖 IN e n ≥ 2) * 2 1 2 ∙ 3 2 3 5 3 = 2 1 2 ∙ 5 3 ∙ 3 2 3 ∙ 5 3 = 2 5 6 ∙ 3 10 9 MATEMÁTICA – 9.° ANO 13 1.ª propriedade: A raiz de índice n de um número real a elevado à potência n é igual ao próprio número a. Observe: I) 49 = 72 = 7 2 2 = 71 = 7 II) 3 27 = 3 33 = 3 49 = 72 = 7 Então: Exemplos: a) 62 = 6 b) 5 𝑥5 = 𝑥 c) 3 53 = 5 d) 2𝑥 2 = 2𝑥 2.ª propriedade: A raiz de índice n de um produto de dois ou mais fatores positivos é igual ao produto das raízes de índice n desses fatores. Observe: I) 4 ∙ 25 = 2 ∙ 5 = 10 II) 4 ∙ 25 = 100 = 10 Comparando II e I, teremos 4 ∙ 25 = 4 ∙ 25 Então: Exemplos: a) 5 ∙ 2 = 5 ∙ 2 b) 3 6 ∙ 𝑎 = 3 6 ∙ 3 𝑎 c) 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 d) 5 7 ∙ 𝑥 = 5 7 ∙ 5 𝑥 𝒏 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒏 𝒂 ∙ 𝒏 𝒃 𝒏 𝒂𝒏 = 𝒂 PROPRIEDADES DOS RADICAIS Considerando radicando não negativo, teremos: 3- Simplifique, utilizando a 1a propriedade: a) 5 75 =______ e) 4 24 =______ b) 52 =______ f) 𝑎2 =______ c) 3 103 =______ g) 3 353 =______ d) 3 2𝑥 3 =______ h) 15 𝑚15 =______ 4- Simplifique, utilizando a 2a propriedade: a) 5 2 ∙ 5 7 =______ e) 4 2 ∙ 4 𝑥 ∙ 4 𝑦3 = ______ b) 6 ∙ 𝑥 =______ f) 𝑎 ∙ 10 = ______ c) 3 5 ∙ 3 2 =______ g) 3 4 ∙ 3 5 ∙ 3 𝑥 = ______ d) 3 4 ∙ 3 2 =______ h) 5 𝑥3 ∙ 5 𝑥2 = ______ Neste caso, é só “eliminar” o expoente e a própria raiz. MATEMÁTICA – 9.° ANO 14 3.ª propriedade: A raiz de índice n de um quociente é igual ao quociente das raízes de índice n do dividendo e do divisor. Observe: I) 4 25 = 2 5 II) 4 25 = 2 5 Comparando I e II, teremos 4 25 = 4 25 Então: Exemplos: a) 𝟐 𝟑 = 𝟐 𝟑 b) 𝟑 𝟕 𝟔 = 𝟑 𝟕 𝟑 𝟔 𝒏 𝒂 𝒃 = 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 5- Determine as raízes: a) 49 64 = ________ d) 3 1 125 = ________ b) 81 25 = ________ e) 100 121 = ________ c) 3 8 27 = ________ f) 25 144 = ________ 6- Calcule: a) 121 = __________________________ b) − 0,49 = __________________________ c) 3 − 27 64