Como se zera uma equação com raiz quadrada

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestre em Física Teórica (UNICSUL, 2020)

O conceito de raízes de equações é bem simples. Basicamente, é chamado de raiz de uma equação o valor que suas variáveis assumem de modo que essa equação seja válida perante a igualdade. O número de raízes de uma equação é dado pelo grau que ela possui. Vejamos abaixo alguns casos:

1) As equações do primeiro grau possuem uma única raiz:

Existe um valor de 𝑥 que deve satisfazer esta igualdade, logo ele é a única raiz desta equação.

Exemplo 1:

Neste caso, a raiz que satisfaz esta equação é 𝑥 = 5.

2) As equações quadráticas possuem duas raízes:

Podemos encontrar essas raízes pela famosa fórmula de Bháskara:

Exemplo 2:

Resolvendo, temos:

Também, de uma forma menos comum, é possível encontrar as raízes de uma equação do segundo grau pelo método de Girard (ou relações de Girard). Sejam 𝑥1 e 𝑥2 raízes de uma equação quadrática, temos a relação:

Exemplo 3: Vamos calcular o exemplo 2 novamente, mas usando as relações de Girard:

Resolvendo o sistema, temos que 𝑥1 = 3 e 𝑥2 = 2.

3) Equações do terceiro grau possuem três raízes:

Estas são 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3. Podemos encontrar estas raízes pelo método de Girard, mas agora ele terá uma nova raiz e, portanto, uma nova forma:

Note que nos três exemplos acima, 𝑎 necessariamente precisa ser diferente de zero.

Não devemos nos ater apenas aos exemplos acima para determinarmos oque é uma raiz de uma equação. Se uma equação possui solução (ou soluções) então essa (ou essas) é (são) a sua raiz (ou raízes).

Referências Bibliográficas:

GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

Determinar as raízes ou zero de uma função do 2º grau consiste em determinar os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas no plano cartesiano. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, podemos determinar sua raiz considerando f(x) = 0, dessa forma obtemos a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que pode ser resolvida pelo método resolutivo de Bháskara.

O propósito de resolver uma equação do 2º grau é calcular os possíveis valores de x, que satisfazem a equação. Os possíveis resultados da equação consistem na solução ou raiz da função. O número de raízes de uma equação do 2º grau depende do valor do discriminante (?), observe as condições a seguir:

? > 0 → a função do 2º grau possui duas raízes reais distintas. ? = 0 → a função do 2º grau possui apenas uma raiz real.

? < 0 → a função do 2º grau não possui nenhuma raiz real.

Exemplos 1 x² – 5x + 6 = 0 ? = b² – 4ac ? = (– 5)² – 4 * 1 * 6 ? = 25 – 24 ? = 1 Possui duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos.

Exemplo 2 x² – 4x + 4 = 0 ? = b² – 4ac ? = (– 4)² – 4 * 1 * 4 ? = 16 – 16 ? = 0 Possui apenas uma raiz real, a parábola intersecta o eixo x em um único ponto.

Exemplo 3 x² + 2x + 2 = 0 ? = b² – 4ac ? = (2)² – 4 * 1 * 2 ? = 4 – 8 ? = – 4 Não possui raiz real, a parábola não intersecta o eixo x.

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

As equações do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes numéricos pertencentes ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0, são denominadas equações do 2º grau. Como toda equação, elas possuem como resultado, um conjunto solução denominado raiz. O diferencial dessas equações em relação às do 1º grau, é que elas podem ter três soluções diferentes de acordo com o valor do discriminante, representado pela letra grega ∆ (delta). Observe:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.

∆ = 0, a equação possui raízes reais iguais.

∆ < 0, a equação não possui raízes reais.

A resolução de uma equação do 2º grau depende do valor de delta e de uma expressão matemática associada ao indiano Bháskara. Essa expressão consiste num método eficiente de resolução desse modelo de equação, com base nos coeficientes numéricos.

Exemplo 1

S = (x Є R / x = –2 e x = 5}

Exemplo 2

S = (y Є R / y = 2/3}

Exemplo 3

5x² +3x +5 = 0

a = 5

b = 3

c = 5

Δ = b² - 4ac

Δ = 3² - 4 ∙ 5 ∙ 5

Δ = 9 – 100

Δ = - 91

S = { } (não existe solução real)

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Quando dizemos “raiz de uma equação”, nos referimos ao resultado final de uma equação qualquer. As equações de 1º grau (do tipo ax + b = 0, onde a e b são números reais e a≠0) possuem apenas uma raiz, um único valor para sua incógnita. As equações de 2º grau (do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a≠0) podem ter até duas raízes reais. O número de raízes de uma equação do 2º grau irá depender do valor do discriminante ou delta: ∆. Equações completas do 2º grau são resolvidas aplicando a fórmula de Bháskara:

Condições de existência da raiz de uma equação do 2º grau:

Nenhuma raiz real: quando delta for menor que zero. (negativo)

Uma única raiz real: quando delta for igual a zero. (nulo)

Duas raízes reais: quando delta for maior que zero. (positivo)

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

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