Como calcular sistema de força com raiz quadrada

O arraste é uma força de fricção que surge por intermédio do atrito entre o corpo e o fluido. Essa força atua na direção paralela à superfície do corpo e, em muitos casos, é proporcional ao quadrado da velocidade com que o corpo desloca-se em relação ao fluido.

O que é força de arraste?

Existem três tipos diferentes de forças de arraste, essas forças são chamadas de arraste de superfície, arraste de forma e arraste de onda.

Em linhas gerais, a força de arraste, também conhecida como resistência do fluido, tanto pode ser aerodinâmica como hidrodinâmica, para os casos em que o corpo desloca-se em meios gasosos e líquidos, respectivamente.

O arraste é, na maioria dos casos, proporcional ao quadrado da velocidade do corpo em relação ao meio em que se desloca, mas também diretamente proporcional à área do corpo transversal ao fluxo das linhas de fluido.

Além desses fatores, o formato do corpo é capaz de alterar grandemente o modo como a força de arraste atua sobre ele, tudo isso depende de como é o fluxo das linhas de fluido. Adiante, explicaremos o que são elas.

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Linhas de fluido

Linhas de fluido são recursos usados para facilitar a compreensão das forças de arraste. Trata-se de construções geométricas, também chamadas de linhas fluidodinâmicas. Elas indicam o modo como as camadas de um fluido movem-se.

No caso em que as linhas fluidodinâmicas são sobrepostas e paralelas, o fluxo de fluido é laminar e pouquíssima força de arraste é exercida sobre um corpo que se desloca sobre ele. Nesse caso, só há atrito entre as próprias camadas do fluido, portanto, dizemos que ele apresenta apenas viscosidade.

Quando as linhas fluidodinâmicas não são paralelas umas às outras, dizemos que o fluxo do fluido que atravessa o corpo é caótico. Esse tipo de fluxo é capaz de reduzir grandemente a velocidade com que o corpo desloca-se através desse meio, assemelhando-se ao caso em que um nadador tenta nadar contra a correnteza de um rio de águas turbulentas.

Arraste de superfície

O arraste de superfície é aquela força causada pela movimentação de um corpo em direção oposta ao fluido. Ela surge graças ao contato entre o fluido e o corpo, por meio de uma camada de contato imediata à superfície deste.

Esse tipo de arraste surge em razão da aspereza de uma superfície do corpo que se desloca no fluido, uma vez que a própria aspereza propicia uma área de contato maior entre ambos.

O arraste de superfície é bastante explorado nas competições profissionais de natação, em que se usa roupas lisas, capazes de diminuírem consideravelmente o arraste do fluido enquanto o nadador  desloca-se em meio líquido.

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Arraste de forma

O arraste de forma decorre de uma diferença de pressão entre diferentes partes de um corpo que se desloca através de um fluido.

Quando um corpo desloca-se com velocidade suficientemente alta através de um fluido, logo atrás dele surge uma região de turbulência, cuja pressão é menor do que a pressão à frente do corpo. Essa diferença de pressão resulta em um arrasto contrário ao sentido de movimento do corpo.

Com o intuito de reduzir-se o arraste de superfície, os objetos que são projetados para deslocar-se em fluidos são desenhados em formatos aerodinâmicos, e essa condição é obtida quando se diminui a área do corpo que é perpendicular ao fluxo das linhas de fluido.

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Arraste de onda

O arraste de onda só ocorre quando algum corpo desloca-se próximo à superfície da água, como quando os nadadores empurram a água para baixo, sendo empurrados para cima, mas também perdendo parte de sua energia cinética em razão da “barreira” de água que se forma na sua frente.

Outro exemplo seria o de um navio, que forma ondas de arraste em frente à sua proa, quando em movimento. O arraste de onda não ocorre quando os corpos movem-se completamente imersos em água.

Fórmula da força de arraste

Confira qual é a fórmula usada para calcular-se a força de arraste:

C – coeficiente de arraste

ρ – densidade do fluido (kg/m³)

A – área do corpo transversal às linhas fluidodinâmicas (m²)

v – velocidade do corpo (m/s)

A fórmula relaciona a força de arraste à densidade do meio, à área transversal do corpo e ao quadrado da velocidade desse corpo, mas também se refere a um coeficiente de arraste C — uma grandeza adimensional que depende diretamente do formato do objeto, no caso de objetos esféricos, por exemplo. O coeficiente de arraste é igual a 0,5.

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Velocidade terminal

Quando algum objeto de tamanho significativo cai de grandes alturas, a força de arraste equilibra-se com a força peso do objeto. Desse modo, a força resultante sobre o objeto passa a ser nula e ele continua o seu movimento em trajetória retilínea, com velocidade constante, de acordo com a 1ª lei de Newton, a lei da inércia.

A velocidade com que um objeto chega ao chão depois de ser solto no ar, chamada de velocidade terminal, pode ser calculada por meio da seguinte expressão, observe:

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Exercícios resolvidos sobre força de arraste

Questão 1) Um objeto esférico (C = 0,5) de área transversal de 7,0 cm² (7,0.10-4 m²) desloca-se no ar a uma velocidade de 10,0 m/s. Sabendo que a densidade do ar é de, aproximadamente, 1,0 kg/m³ e que a densidade do objeto é de 800 kg/m³, determine o módulo da força de arraste sobre esse objeto.

a) 0,750 N

b) 0,0550 N

c) 0,0175 N

d) 0,2250 N

e) 0,5550 N

Gabarito: Letra c

Resolução:

O exercício pede que calculemos a intensidade da força de arraste, para tanto, basta substituir os dados informados na fórmula, observe:

Questão 2) Analise as afirmações acerca da força de arraste, em seguida, assinale a alternativa correta:

I - A força de arraste é proporcional ao quadrado da velocidade do corpo.

II - Quanto maior é a densidade do meio, maior será a intensidade da força de arraste exercida por um corpo que o atravessa.

III - A velocidade terminal de um corpo que se desloca em um meio fluido não depende da massa do objeto.

São verdadeiras:

a) Apenas I

b) I e II

c) I, II e III

d) Apenas II

e) II e III

Gabarito: Letra b

Resolução:

As alternativas corretas são I e II. Em relação à alternativa II, a densidade do meio é diretamente proporcional à força de arraste, por isso, a alternativa correta é a letra b.

Questão 3) Um corpo de massa m é solto de uma determinada altura em relação ao solo, em uma região onde há presença de gases atmosféricos, passando a cair sobre o efeito de seu peso e da força de arraste do ar. Um segundo corpo, de mesmo formato e tamanho, mas de massa quatro vezes maior, é solto da mesma altura, sob as mesmas condições. Determine a relação entre a velocidade terminal do segundo corpo (v') em relação à velocidade terminal do primeiro corpo (v).

a) v' = 3v

b) v' = v/4

c) v' = 4v

d) v' = v/2

e) v' = 16v

Gabarito: Letra c

Resolução:

Uma vez que a massa do segundo corpo é quatro vezes maior que a massa do primeiro corpo e a velocidade terminal depende da raiz quadrada da massa, a velocidade terminal do corpo que é quatro vezes mais massivo será duas vezes maior, ou seja: v' = 4v.

Por Rafael Helerbrock
Professor de Física

Na Física, o movimento harmônico simples (MHS) é uma trajetória que ocorre na oscilação em torno de uma posição de equilíbrio.

Nesse tipo particular de movimento, existe uma força que direciona o corpo a um ponto de equilíbrio e sua intensidade é proporcional à distância alcançada quando o objeto se afasta do referencial.

Quando um movimento é realizado e alcança uma amplitude, gerando oscilações que se repetem por um período de tempo e que é expresso com uma frequência em unidades de tempo, temos um movimento harmônico ou movimento periódico.

A amplitude (A) corresponde a distância entre a posição de equilíbrio e a posição ocupada ao afastar o corpo.

O período (T) é o intervalo de tempo em que o evento de oscilação se complete. Ele é calculado através da fórmula:

Outra maneira de expressar o período, é relacionando-o com a frequência, que representa o número de oscilações realizadas por unidade de tempo.

A frequência angular ou velocidade angular é dada pela fórmula:

ou

Note que ela pode ser calculada relacionando-se com o período (T) ou com a frequência (f).

Força restauradora no MHS

O afastamento de um corpo da sua posição de equilíbrio faz com que uma força aja sobre ele para que retorne a sua posição.

A força que atua no movimento harmônico simples é de restauração, do tipo elástica. Por isso, a força restauradora no MHS é dada por:

Onde, K é uma constante e x é o deslocamento.

Por exemplo, se uma mola suspensa verticalmente encontra-se parada e na sua posição de equilíbrio, ela pode sofrer um deslocamento se a esticarmos ou comprimirmos. Portanto, a deformação sofrida é representada na fórmula por x.

Fórmulas do movimento harmônico simples

O movimento harmônico simples pode ser estudado através do movimento circular uniforme. Unindo-se os conceitos, é possível chegar as equações horárias a seguir.

Posição

A posição (x), em metros, é dada por:

• Amplitude do movimento (A), em metros.
• Frequência angular ou velocidade angular ( ), em radianos por segundo.
• Tempo (t), em segundos.
• Fase inicial do MHS ( ), em radianos.

Velocidade

A velocidade de uma partícula (v), em metros por segundo, é dada por:

• Velocidade angular ( ), em radianos por segundo.
• Amplitude (A), em metros.
• Tempo (t), em segundos.
• Fase inicial ( ), em radianos.

Aceleração

ou

A aceleração de uma partícula (A), em metros por segundo ao quadrado, depende de:

• Velocidade angular ( ), em radianos por segundo.
• Posição (x), em metros.

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Energia no movimento harmônico simples

A energia no movimento harmônico simples está associada com a energia cinética e energia potencial.

A energia cinética é referente à posição da partícula, sendo calculada por:

A energia potencial é referente à velocidade atingida pela partícula durante o movimento. Como é do tipo elástica, a energia é calculada por:

A soma das duas energias resulta na energia mecânica:

Vale lembrar que no movimento harmônico simples a energia cinética e potencial variam, pois dependem da posição e da velocidade. Entretanto, a energia mecânica é constante, supondo que não existem forças dissipativas no movimento harmônico simples.

Saiba mais sobre a Energia Mecânica.

Exemplo de MHS: pêndulo simples

O pêndulo simples é um sistema que realiza o movimento harmônico simples. Ele é composto por um fio inextensível e em sua extremidade está fixa uma partícula de dimensões desprezíveis, que se movimenta livremente.

A posição de equilíbrio de um pêndulo, ponto A na imagem acima, acontece quando o instrumento está parado, permanecendo em uma posição fixa.

Deslocar a massa presa na ponta do fio para determinada posição, na imagem representada por B e C, faz com que haja uma oscilação em torno do ponto de equilíbrio.

Fórmulas de período e frequência para o pêndulo

O movimento periódico realizado pelo pêndulo simples pode ser calculado através do período (T).

Onde,

T é o período, em segundos (s). L é o comprimento do fio, em metros (m).

g é a aceleração da gravidade, em (m/s2).

Já a frequência do movimento pode ser calculada pelo inverso do período, e por isso, a fórmula é:

Saiba mais sobre o pêndulo simples.

Exercícios sobre movimento harmônico simples

Questão 1

Uma esfera de massa igual a 0,2 kg está presa a uma mola, cuja constante elástica k = . Afasta-se a mola 3 cm de onde estava em repouso e ao soltá-la o conjunto massa-mola começa a oscilar, executando um MHS. Desprezando as forças dissipativas, determine o período e a amplitude do movimento.

Questão 2

Em uma mola, cuja constante elástica é 65 N/m, está acoplado um bloco de massa 0,68 kg. Movendo o bloco da posição de equilíbrio, x = 0, até uma distância de 0,11 m e soltando-o do repouso em t = 0, determine a frequência angular e a aceleração máxima do bloco.

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Resposta correta: = 9,78 rad/s e = 11 m/s2.

Os dados apresentados no enunciado são:

• m = 0,68 kg
• k = 65 N/m
• x = 0,11 m

A frequência angular é dada pela fórmula: e o período é calculado por , então:

Substituindo os valores da massa (m) e da constante elástica (k) na fórmula acima, calculamos a frequência angular do movimento.

A aceleração no MHS é calculada por enquanto que a posição possui a fórmula . Sendo assim, podemos modificar a fórmula da aceleração.

Observe que a aceleração é uma grandeza proporcional ao negativo do deslocamento. Portanto, quando a posição do móvel está em seu menor valor a aceleração apresenta seu maior valor e vice-versa. Por isso, a aceleração é máxima´é calculada por: .

Substituindo os dados do enunciado na fórmula, temos:

Sendo assim, os valores para o problema são: .

(Mack-SP) Uma partícula descreve um movimento harmônico simples segundo a equação , no SI. O módulo da máxima velocidade atingida por esta partícula é:

a) π 3 m/s. b) 0,2 . π m/s. c) 0,6 m/s. d) 0,1 . π m/s.

e) 0,3 m/s.

Questão 4

Se a posição de uma partícula é determinada pela função horária

a)
b)
c)
d)

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: b) .

Segundo a função horária temos os seguintes dados:

• Amplitude (A) = 2 m
• Frequência angular ( ) = rad/s
• Fase inicial ( ) = rad

Para calcular a velocidade utilizaremos a fórmula .

Primeiramente, vamos resolver o seno da fase do MHS: sen .

Observe que precisamos calcular o seno da soma e, portanto, utilizamos a fórmula:

Por isto, precisamos dos seguintes dados:

Agora, substituímos os valores e calculamos o resultado.

Colocando o resultado na função horária, calculamos a velocidade da seguinte forma:

RAMALHO, NICOLAU e TOLEDO. Fundamentos da Física - Vol. 2. 7. ed. São Paulo: Editora Moderna, 1999.

MÁXIMO, A., ALVARENGA, B. Curso de Física - Vol. 2. 1. ed. São Paulo: Editora Scipione, 2006.