Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une. Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas. Questão 1Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?
Resposta correta: dPQ = 7. Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas.  Substituindo as abscissas dos pontos na fórmula, temos
Veja a representação dos pontos no plano cartesiano. dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento). Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).
Resposta correta: dRT = 2. As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas. Substituindo as ordenadas na fórmula, temos Observe a representação dos pontos no plano cartesiano. dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento). Veja também: Distância entre dois pontos Questão 3Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?
Resposta correta: dDC = . Observe no plano cartesiano que o segmento de reta formado não está paralelo a nenhum eixo. Sendo e Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma: A distância entre os pontos é de dDC = u.c. (unidades de medida de comprimento). Questão 4O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo?
Resposta correta: 1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B.
2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C.
3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C. Podemos observar que o triângulo tem dois lados iguais dAB = dBC, sendo assim, o triângulo é isósceles e seu perímetro é:
Questão 5Um móvel percorre a trajetória A→B→C. Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é:
A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m. Aproximando a raiz quadrada de 13 para 3,60: Questão 6Em uma corrida de aventura através de uma floresta é necessário encontrar a localização de alguns pontos específicos por onde a equipe deve passar e registrar seu tempo. Na próxima etapa as equipes devem passar pelo ponto de localização P(5, c). Além do mapa, as equipes receberam a informação de que o ponto P é equidistante da largada L(3, 6) e da chegada C(9, 4). Com base nas informações, a ordenada c do ponto P é:
Resposta correta: c = 1. Como o ponto P é equidistante da posição da largada e da chegada, é verdadeiro que: Elevando os dois membros ao quadrado, eliminamos as raízes. Questão 7(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é: a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 d) -1 ou 10 e) 2 ou 12
Alternativa correta: c) 1 ou 13. 1º passo: Substituir os valores das coordenadas e da distância na fórmula. 2º passo: Eliminar a raiz elevando os dois termos ao quadrado e encontrar a equação que determina o y.
3º passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara e encontrar as raízes da equação. Para que a distância entre os pontos seja igual a 10, o valor de y deve ser 1 ou 13. Questão 8(UFES) Sendo A (3, 1), B (–2, 2) e C (4, –4) os vértices de um triângulo, ele é: a) equilátero. b) retângulo e isósceles. c) isósceles e não retângulo. d) retângulo e não isósceles. e) n.d.a.
Alternativa correta: c) isósceles e não retângulo. 1º passo: Calcular a distância de AB. 2º passo: Calcular a distância de AC.
3º passo: Calcular a distância de BC.
4º passo: Julgar as alternativas. a) ERRADA. Para um triângulo ser equilátero os três lados devem ter a mesma medida, mas o triângulo ABC tem um dos lados diferente. b) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo pois não obedece ao Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado.
c) CORRETA. O triângulo ABC é isósceles, pois possui as medidas de dois lados iguais. d) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo, mas é isósceles. e) ERRADA. O triângulo ABC é isósceles. Questão 9(PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 b) 2 c) 4 d) e)
Alternativa correta: b) 2. Sendo os pontos A, B e C vértices de um triângulo equilátero, isso quer dizer que as distâncias entre os pontos são iguais, pois esse tipo de triângulo possui os três lados com a mesma medida. Como os pontos A e B têm suas coordenadas, substituindo-as na fórmulas encontramos a distância. Logo, dAB = dAC= 2. Questão 10(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B. a) X = 8 b) X = 6 c) X = 15 d) X = 12 e) X = 7
Alternativa correta: a) X = 8. 1º passo: Montar a fórmula para calcular as distâncias. Se A e B são equidistantes de C, quer dizer que os pontos encontram-se à mesma distância. Logo, dAC = dBC e a fórmula para calcular é:
Anulando-se as raízes dos dois lados, temos:
2º passo: Resolver os produtos notáveis.
3º passo: Substituir os termos na fórmula e resolvê-la. Para que o ponto C seja equidistante dos pontos A e B, o valor de x deve ser 8. (Uel) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é a) 4 b) 4√2 c) 8 d) 8√2 e) 16
Alternativa correta: a) 4. 1º passo: calcular a distância entre os pontos A e C. 2º passo: Aplicar o Teorema de Pitágoras. Se a figura é um quadrado e o segmento de reta AC é sua diagonal, então quer dizer que o quadrado foi dividido em dois triângulos retângulos, com um ângulo interno de 90º. Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma do quadrado dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa.
3º passo: Calcular a área do quadrado. Substituindo o valor do lado na fórmula da área do quadrado, temos:
Questão 12(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale: a) 14 b) 13 c) 12 d) 9 e) 8
Alternativa correta: b) 13. Para calcular a distância entre os pontos M e N, basta substituir as coordenadas na fórmula. Questão 13(ETAM 2011) A distância do ponto (−1, −1) ao ponto (1, 1) é igual a: a) 2√2; b) 3√2; c) 2√3; d) 3√3.
Resposta correta: a) 2√2 Fazendo: A(-1,-1)
Questão 14(UFRR 2017) Sabendo-se que a distância entre os pontos A (4,y) e B (1,2) é igual a 5, os valores de y são: a) 6 e - 2 b) 2 + 2i e 2 - 2i c) 2 + 2√3 e 2 - 3√3 d) 2 e 0 e) 4 + 2√6 e 4 - 2√6
Resposta correta: a) 6 e - 2
Para extrair a raiz, elevamos ambos os membros da equação ao quadrado.
Determinando o delta da equação do segundo grau:
Determinando as raízes da equação:
Desta forma, os valores 6 e -2 satisfazem y. Veja também: |
Calcule os três ângulos internos de um triângulo abc, sabendo que a 5 2, b 5 √6 e c 5 √3 1 1.
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