Quando eleva um numero ao quadrado cancela a raiz

Você já ouviu falar em números quadrados perfeitos? Os quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de qualquer número por ele mesmo. Por exemplo, o 9 é um quadrado perfeito, pois ele é o resultado de 3 x 3 ou, melhor ainda, porque ele é o resultado da potência 32 (lê-se três elevado a dois ou três ao quadrado).

Nós temos uma forma mais usual de representar um número que é tido como quadrado perfeito. Para representá-lo, nós utilizamos a raiz quadrada. Por exemplo, se procuramos a “raiz quadrada de 4”, pretendemos descobrir qual é o número que, ao quadrado (o número multiplicado por si mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos dizer que o número que procuramos é o 2, pois 22 = 4. Por essa razão, dizemos que a radiciação é a operação inversa à potenciação. Vejamos como representar uma raiz quadrada:

O radical (símbolo em vermelho) indica que se trata de uma radiciação, e o índice caracteriza a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos trabalhando. Em geral, o radicando é o número sobre o qual somos questionados, e a raiz é o resultado.

Nesse exemplo, estamos procurando a raiz quadrada de 4, isto é, queremos saber qual é o número que multiplicado por ele mesmo resulta em quatro. Facilmente podemos concluir que esse número é o 2, pois 22 = 4.

Mas e se por acaso quisermos saber qual é o número que multiplicado por si mesmo 3 vezes resulta em 8? Precisamos então procurar o número que, ao cubo, resulta em 8, isto é:

? 3 = 8

? x ? x ? = 8

Esse exemplo já exige um pouco mais de raciocínio. Mas podemos afirmar que o número que ocupa o lugar dos quadradinhos é o 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Veja que acabamos de trabalhar com uma raiz cúbica, pois o índice da raiz é três. Sua representação é:

3√8 = 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Mas haveria uma forma mais fácil de realizar a radiciação? Sim, há! Através da fatoração, conseguimos encontrar qualquer raiz exata, independentemente do índice. Vejamos alguns exemplos:

1. √64

Precisamos encontrar a raiz quadrada de 64. Atenção: sempre que não aparece um número no índice, trata-se de uma raiz quadrada, cujo índice é 2. Vamos fatorar o radicando 64, isto é, vamos dividi-lo sucessivas vezes pelo menor número primo possível até que cheguemos ao quociente 1:

64 | 2
32 | 2
16 | 2
 8 | 2
 4 | 2
 2 | 2
1| 

Do lado direito, apareceram seis números 2. Ao multiplicá-lo (2x2x2x2x2x2), encontramos o número 64. Então, em vez de escrevermos o 64, podemos colocar essa multiplicação dentro da raiz:

√64

√2x2x2x2x2x2

Como estamos trabalhando como uma raiz quadrada, nós agruparemos os números dentro da raiz de dois em dois, elevando-os ao quadrado:

√22x22x22

Feito isso, aqueles números que possuem o expoente dois podem sair da raiz. Eles saem sem o seu expoente, mas continuam com o símbolo da multiplicação, portanto:

√64 – 2x2x2 – 8

Portanto, a raiz quadrada de 64 é 8.

2. 3√729

Agora estamos trabalhando com uma raiz cúbica, ou uma raiz de índice três. Devemos procurar um número que, multiplicado por si mesmo três vezes, chega ao valor do radicando. Vamos novamente fatorar nosso radicando, dividindo-o sempre pelo menor número primo possível:

729 | 3
243 | 3
 81 | 3
 27 | 3
   9 | 3
   3 | 3
 1 | 

Como estamos lidando com uma raiz de índice 3, nós vamos agrupar os números iguais que apareceram à direita em trios, com expoente 3. Novamente aqueles números que possuem expoente que coincide com o índice do radicando poderão sair da raiz. Vejamos:

3√729

3√3x3x3x3x3x3

3√33x33

3√729 = 3x3 = 9

Portanto, a raiz cúbica de 729 é 9.

3) 4√3125

Nesse exemplo, temos uma raiz quarta. Logo, ao fatorarmos o radicando, deveremos agrupar os números da direita de quatro em quatro. Vejamos:

3125 | 5
  625 | 5
  125 | 5
    25 | 5
      5 | 5
   ?1 |

À direita, apareceram cinco números cinco. Logo, podemos observar que, ao juntarmos grupos de 4, alguém ficará sozinho. Ainda assim, realizaremos esse processo:

4√3125

4√5x5x5x5x5

4√54x5

4√3125 = 54√5

Infelizmente, não conseguimos concluir essa radiciação, dizemos então que ela não é exata.

A fatoração do radicando é um procedimento que nos permite efetuar a radiciação independentemente do índice do radical e até mesmo se a radiciação não possuir raiz exata, como ocorreu no último exemplo. 

Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto:

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A radiciação é uma operação matemática que envolve um produto (multiplicação) cujos fatores são todos iguais em seu fundamento, isto é, uma “potência”.

Nas potências, é dado um número chamado base, que é multiplicado por si mesmo n vezes (n é o expoente). Na radiciação, é feito o contrário: é dada a potência a fim de encontrar a base. Assim como todas as operações matemáticas, todo esse processo obedece a algumas propriedades, conhecidas como propriedades dos radicais ou propriedades das raízes.

Essas propriedades são utilizadas para simplificar e até mesmo para resolver raízes de índices elevados ou que possuam resultado não exato. Contudo, antes de uma exposição dessas propriedades, é bom relembrar o que é um radical e como encontrar seus resultados.

O que é um radical?

Radical é o símbolo utilizado para identificar uma radiciação.

Na imagem acima, n é o índice, x é o radicando e L é a raiz enésima. O símbolo “√” é conhecido como radical e é utilizado para representar a operação matemática radiciação.

Nessa operação, o número L é obtido de acordo com o seguinte princípio: L é um número que, multiplicado por si mesmo n vezes, tem x como resultado, ou seja, Ln = x. Dessa maneira, a radiciação é o inverso da potenciação.

Uma vez definidas as raízes e de posse do conceito de radical, podemos dar início a exposição das propriedades dos radicais

Propriedades dos radicais ou propriedades das raízes

1ª Propriedade

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência é o próprio número. Em outras palavras, essa propriedade trata das raízes em que o índice do radical é igual ao expoente do radicando. Observe:

2ª Propriedade

O índice de uma raiz pode ser multiplicado (ou dividido) por um número real qualquer, desde que o expoente do radicando também seja multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número. Matematicamente:

3ª Propriedade

Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois números. Ela pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas. Isso significa que:

4ª Propriedade

Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números quaisquer. Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes enésimas. Observe:

5ª Propriedade

Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando. Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:

6ª Propriedade

Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:

7ª Propriedade

Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário. Observe: