Quantos números de três algarismos podem ser representados com os algarismos 2 3 4 7 8 e 9?

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• Quantos números de três algarismos distintos podem ser representados com os algarismos 2 3 4 7 8 e 9?
• Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1 2 3 4 e 5?
• Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com algarismos 1 2 3 4 5 6?
• Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados 2 3 4 7 8 9?

24 pág.

EE Joao Goulart Santiago Brum

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como 477 e 999. Logo, para preencher cada uma das casas 
existem seis possibilidades de escolha, pois podemos preen-
chê-la com qualquer um dos algarismos 2, 3, 4, 7, 8 e 9.
centenas dezenas unidades
6 6 6
Logo, pelo princípio fundamental da contagem, o total 
de números que podem ser representados é dado pelo 
produto 6 � 6 � 6. Ou seja, nas condições enunciadas, é 
possível representar 216 números.
3 Quantos números naturais de três algarismos distintos 
podem ser representados com os algarismos 2, 3, 4, 7, 8 e 9?
Resolução
No esquema abaixo, cada casa pode ser preenchida 
com um dos algarismos 2, 3, 4, 7, 8 ou 9, sem repetição 
de algarismos.
centenas dezenas unidades
• O número de possibilidades de preenchimento da 
primeira casa é 6.
• O número de possibilidades de preenchimento da 
segunda casa é 5, pois um algarismo já foi usado na pri-
meira casa e não pode ser repetido.
• O número de possibilidades de preenchimento da terceira 
casa é 4, pois os dois algarismos usados nas casas ante-
riores não podem ser repetidos.
centenas dezenas unidades
6 5 4
Logo, pelo princípio fundamental da contagem, o total 
de números que podem ser representados é dado pelo 
produto 6 � 5 � 4. Ou seja, nas condições enunciadas, é 
possível representar 120 números.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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No Ensino Fundamental, aprendi a calcular o número de divisores naturais de um número 
natural não nulo. Esse cálculo pode ser feito pelo princípio fundamental da contagem?
desse número é da forma 
2m � 3 p, em que m e p são 
números naturais, com 
0 	 m 	 5 e 0 	 p 	 4. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Faça as atividades no caderno.
1 A figura abaixo representa as poltronas de um cinema, 
distribuídas em fileiras com o mesmo número de poltro-
nas em cada uma.
Tela
Aplicando o princípio fundamental da contagem, res-
ponda aos itens a seguir.
a) Quantas poltronas há nesse cinema?
b) Em determinada sessão desse cinema, em que todos 
os ingressos foram vendidos, houve uma promoção: 
cada ingresso comprado dava direito a duas barras de 
chocolate. Qual o total de barras distribuídas aos 
espectadores nessa sessão?
2 Em um ginásio de esportes, os lugares destinados aos 
espectadores são separados em quatro setores, com a mes-
ma quantidade de cadeiras em cada um: azul, laranja, ama-
relo e verde. Em cada setor, cada cadeira é identificada por 
uma das 26 letras do alfabeto, seguida de um dos números 
naturais de 1 a 45. O bilhete de ingresso ao ginásio apre-
senta uma sequência com uma cor, uma letra e um número. 
Assim, por exemplo, a informação azul, G, 38 indica: setor 
azul, fila G, cadeira 38. Quantas cadeiras são destinadas 
aos espectadores se o total de cadeiras é igual ao total de 
possibilidades de identificação?
3 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, determine:
a) quantos números naturais de quatro algarismos 
podem ser representados;
b) quantos números naturais de quatro algarismos dis-
tintos podem ser representados.
4 Com o auxílio do esquema abaixo, respondam:
milhares centenas dezenas unidades
a) Quantos números naturais de quatro algarismos po-
dem ser representados com os algarismos 0, 4, 5, 7 e 9?
 (Sugestão: Lembrem-se de que, para o número ter 
quatro algarismos, o algarismo dos milhares não pode 
ser zero.)
b) Quantos números naturais de quatro algarismos dis-
tintos podem ser representados com os algarismos 0, 
4, 5, 7 e 9?
5 Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 9:
a) quantos números naturais pares de quatro algaris-
mos podem ser representados?
b) quantos números naturais pares de quatro algaris-
mos distintos podem ser representados?
6 Doze equipes de voleibol disputam um campeonato. 
De quantas maneiras diferentes pode ocorrer a classifi-
cação das três primeiras colocadas, se não pode haver 
empate em nenhuma das colocações?
7 (Enem) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de ma-
míferos, distribuídas conforme a tabela abaixo.
Grupos taxonômicos Número de espécies
Artiodáctilos 4
Carnívoros 18
Cetáceos 2
Quirópteros 103
Lagomorfos 1
Marsupiais 16
Perissodáctilos 1
Primatas 20
Roedores 33
Sirênios 1
Edentados 10
Total 209
T&C Amazônia, ano 1, n. 3, dez. 2003.
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três 
dessas espécies de mamíferos — uma do grupo Cetáceos, 
outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. 
O número de conjuntos distintos que podem ser forma-
dos com essas espécies para esse estudo é igual a:
a) 1.320
b) 2.090
c) 5.845
d) 6.600
e) 7.245
320
640
4.680
1.296
360
500
96
216
60
1.320
alternativa a
Sim, o cálculo do número de divisores naturais de um número natural não nulo pode ser feito pelo princípio fundamental da contagem. 
Por exemplo, para calcular o número de divisores naturais de 2.592, decompomos esse número em fatores primos, obtendo: 25 � 34. Logo, qualquer divisor natural 
Portanto, há 6 possibilidades para m e 5 possibilidades para p. Assim, pelo princípio fundamental da contagem, multiplicando 
esses números de possibilidades, 6 � 5, obtemos o número de divisores naturais de 2.592. Concluímos, então, que o número 
2.592 tem 30 divisores naturais.
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8 Qualquer símbolo utilizado na escrita de uma linguagem 
é chamado de caractere; por exemplo: letras, algarismos, 
sinais de pontuação, sinais de acentuação, sinais espe-
ciais etc. Em computação, cada caractere é representado 
por uma sequência de 8 bits, e cada bit pode assumir dois 
estados, representados por 0 ou 1; por exemplo, a sequên-
cia 01000111 representa a letra G. Assim, o número 
máximo de caracteres que podem ser representados por 
todas as sequências de 8 bits é:
a) 16
b) 32
c) 64
d) 128
e) 256
9 Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo 
secreto é um número natural de cinco algarismos distin-
tos e não nulos. Com o objetivo de acessar esse arquivo, o 
hacker programou o computador para testar, como senha, 
todos os números naturais nessas condições. O compu-
tador vai testar esses números um a um, demorando 
5 segundos em cada tentativa. O tempo máximo para 
que o arquivo seja aberto será:
a) 12 h 30 min
b) 11 h 15 min 36 s
c) 21 h
d) 12 h 26 min
e) 7 h
10 No Brasil, as placas de automóvel são formadas por uma 
sequência de três letras seguida de outra de quatro alga-
rismos, como no exemplo:
a) Quantas placas diferentes podem ser formadas com 
as letras A, B, C e D e com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
b) Quantas placas diferentes podem ser formadas com 
as letras A, B, C e D e com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 
sem repetir letra nem algarismo?
c) Quantas placas diferentes podem ser formadas, 
com pelo menos um algarismo não nulo, empre-
gando-se as 26 letras do alfabeto e os 10 algarismos 
do sistema decimal?
Resolva os exercícios complementares 1 a 8.
 Inspirando-se nos exercícios propostos 1 a 10, elaborem e resolvam um problema sobre o 
princípio multiplicativo da contagem que envolva uma situação do cotidiano.
CRIANDO PROBLEMAS
Estudamos o princípio fundamental da contagem a partir da matriz das possibilidades, 
porém há outras maneiras interessantes de estudá-lo. Uma delas utiliza um dispositivo 
chamado diagrama de árvore. Pesquise na internet a aplicação do diagrama de árvore no 
estudo do princípio fundamental da contagem e escreva um breve texto sobre o que você ler, 
acompanhado de exemplos.
CONECTADO
Uma pesquisa feita com um grupo de internautas, sobre os sites
sites
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site B.
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S
3 O princípio aditivo da contagem
alternativa e
40.000
2.880
175.742.424
alternativa c
Resposta pessoal.
Ver Suplemento com orientações para o professor.

Quantos números de três algarismos distintos podem ser representados com os algarismos 2 3 4 7 8 e 9?

Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1 2 3 4 e 5?

Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com algarismos 1 2 3 4 5 6?

Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados 2 3 4 7 8 9?