Assim como em uma progressão aritmética, a Progressão Geométrica (P.G) também é representada por uma sequência, porém seus elementos são dados pelo produto do termo anterior por uma constante que chamaremos de razão q. Em outras palavras, dada a sequência: Show (a1, a2, a3, a4, ..., an) Temos que: a2 = a1 . q a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2 a4 = a3 . q = (a2 . q) . q = [(a1 . q) . q ] . q = a1 . q3 ... Naturalmente, se quisermos obter a razão de uma P.G., devemos dividir um termo an pelo seu anterior, assim: Ao continuarmos a operação para determinar um termo qualquer em uma P.G., obtemos então a fórmula do termo geral: E supondo um caso em que não sabemos qual é o seu primeiro termo, podemos usar uma forma generalizada do termo geral da P.G. Sejam m e n posições consecutivas quaisquer dos elementos, temos: Interpretação geométrica da P.G.Podemos representar o termo geral de uma P.G. como uma função do tipo f(x), onde podemos reescrever a fórmula em função de x e também desenhar o gráfico da função. Dizemos então que: Supondo conhecidos os valores de a1 e de q, a sua razão, a fórmula do termo geral assumirá então a forma de uma função exponencial. Vejamos um exemplo em que an = ½ e que q = 2, escrevemos: Sabemos, por definição que esta P.G. será dada por: Neste exemplo, o nosso primeiro termo será dado por o que claramente já foi dado, confirmando então que o zero da função é o termo a1. Abaixo segue o gráfico da função onde estão indicados os quatro primeiros termos da P.G.: Vemos que os valores de f(1), f(2), ..., f(x) com x sendo um número inteiro serão os termos da P.G. Tipos de progressão geométricaCrescenteQuando a razão q >1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Exemplos: (1, 4, 16, 64, ...), onde q = 4 (-150, -30, -6, ...), onde q = ½ DecrescenteQuando 0 < q < 1 e os termos são positivos, ou quando q > 1 e os termos negativos. Por exemplo: (200, 100, 50, ...), onde q = ½ (-1, -3, -9, ...), onde q = 3 OscilanteQuando q < 0, ou seja: (3, -6, 12, -24, ...), onde q = -2 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finitaSeja uma P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an) e Sn soma dos seus termos, podemos então escrever: Multiplicando ambos os lados da equação por q temos: E que pela definição: Podemos então dizer que: O que nos resulta em: E pela equação do termo geral, podemos: Isolando as variáveis: Por fim, obtemos então a fórmula da soma da P.G. finita: OBS: Se a razão for igual a um (q=1), em outras palavras, se a P.G. for constante (onde todos os seus termos são iguais) então não será possível obter a soma dos seus termos. Referências Bibliográficas: DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações - Volume 1. São Paulo: Editora Ática, 2011. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 4: São Paulo: Editora Atual, 2013. Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/progressoes-geometricas/ Na seqüência 1, 3, 7,..., cada termo é duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a 15. Então o décimo termo é: Qual é a fórmula de uma progressão geométrica?Progressão Geométrica (PG) é uma continuidade numérica em que a divisão de um termo com o seu anterior, exceto o primeiro, resultará em um único valor, a chamada razão (q), ou seja: PG: (a1, a2, a3, a4, ..., an) , sendo q = (a2/a1 = a3/a2 = a4/a3,...)
Como calcular a progressão?A soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser obtida por meio da metade do número de termos multiplicada pela soma dos seus extremos. Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo é a soma do anterior por uma constante, chamada de razão.
Qual a fórmula geral da progressão aritmética?A progressão aritmética é aquela sequência numérica em que cada termo (a partir do segundo) corresponde à soma do anterior com um valor chamado razão (r). Ou seja, a é o primeiro termo, a + r o segundo, e a + 2r o terceiro.
Quais são os 4 tipos de progressão geométrica?De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:. PG Crescente. Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, por exemplo: ... . PG Decrescente. ... . PG Oscilante. ... . PG Constante.. |