Problemas de valor inicial Exercícios resolvidos

— 1. Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais —

Abordamos alguns conceitos básicos sobre equações diferencias, agora vamos resolver alguns exercícios relacionados ao assunto.

Exercício 1.Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.

1. 
   Solução:Da função obtemos:

   Substituindo as derivadas na equação teremos:

2. 
   Solução:Da função obtemos:

   Substituindo a derivada de segunda ordem na ED teremos:

Exercício 2.Comprove que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada

Encontre pelo menos uma solução explicita

Solução:escrevendo e derivando, teremos:

Para acharmos a solução explicita temos que isolar x na solução implícita fazendo:

A solução explicita será:

Exercício 3.Verifique se a família de funções dada é uma solução da equação diferencial.

1. 
   Solução:Derivando a função obtemos: substituindo a derivada na equação diferencial teremos:

2. 
   Solução:Derivando a função teremos:

   substituindo as derivadas na equação diferencial teremos:

Exercício 4:A função é uma família de soluções da ED de primeira ordem Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e na condição inicial

Solução:substituindo as condições iniciais na função, teremos:

Determinando valor de teremos:

Substituindo o valor de na função teremos:

Exercício 5:A função é uma família de soluções da ED de segunda ordem Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e nas seguintes condições iniciais:

Solução:determinando a primeira derivada da função temos:

substituindo as condições iniciais na função e na primeira derivada temos:

Determinando valor de e teremos: e

Substituindo o valor de e na função teremos:

Exercício 6.Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto na região.

Solução:Pelo Teorema de Picard temos:

Derivando a função temos: assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde

Exercício 7.Verifique se o Teorema de Picard garante unicidade de solução para a equação diferencial passando pelo ponto dado:

1. (1,4)
2. (5,3)

Solução:Pelo Teorema de Picard temos que:

Derivando a função temos: assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde então:

1. a equação diferencial tem uma única solução no ponto (1,4).
2. a equação diferencial não garante uma única solução no ponto (5,3).

Como calcular problema de valor inicial?

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Para que serve uma equação diferencial?