Num campeonato de futebol , os times ganham 3 pontos em cada vitória

Em um campeonato de futebol, a vitória vale 3 pontos, o empate 1 ponto e a derrota zero ponto. Ganha o campeonato o time que tiver maior número de pontos. Em caso de empate no total de pontos, os times são declarados vencedores.

Os times R e S são os únicos com chance de ganhar o campeonato, pois ambos possuem 68 pontos e estão muito a frente dos outros times. No entanto, R e S não se enfrentarão na rodada final.

Os especialistas em futebol arriscam as seguintes probabilidades para os jogos da última rodada:

• R tem 80% de chance de ganhar e 15% de empatar;

• S tem 40% de chance de ganhar e 20% de empatar.

Segundo as informações dos especialistas em futebol, qual e a probabilidade de o time R ser o único vencedor do campeonato?

Outra equipe que disputa esse campeonato conquistou um total de 16 pontos nos nove primeiros jogos. O número de vitórias obtido por essa equipe nesses nove jogos

Resolução da Equipe Tecnolegis:

Se a cada vitória do time ele ganha 3 pontos, o número máximo de vitórias que ele obteve foi de 5, pois se tivesse obtido 6 vitórias teria obtido, no mínimo, 18 pontos (3 * 6 = 18), ultrapassando os 16 pontos informados.

Portanto, para conquistar 16 pontos ele pode ter obtido entre 0 e 5 vitórias. Porém, os pontos não obtidos com vitórias foram necessariamente obtidos com empates. A soma do número de vitórias e do número de empates também não pode ultrapassar 9, pois os 16 pontos foram obtidos em nove jogos.

Desta maneira, também descartamos 3 ou menos vitórias, pois se o time tivesse vencido 3 jogos (3 * 3 = 9 pontos), deveria ter empatado outros 7 jogos (& * 1 = 7 pontos). Somariam-se, então, 10 jogos (ultrapassando o limite de 9.

Restam apenas as opções de 4 ou 5 vitórias, conforme os dois cenários abaixo:

1) 5 vitórias (15 pontos) + 1 empate (1 ponto) + 3 derrotas (0 pontos) = 9 jogos e 16 pontos

2) 4 vitórias (12 pontos) + 4 empates (4 pontos) + 1 derrota (0 pontos) = 9 jogos e 16 pontos

Assim, o número de vitórias obtido por essa equipe pode ter sido igual a 4 ou 5.

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o preço do livro, a quantidade de consumidores 
que o compram aumenta. Supondo que essa relação ocorre de forma linear, pede-se:
a. A equação da reta que contém os pontos A e B.
b. O valor do livro para que nenhum consumidor deseje comprá-lo.
2. (SARESP - 2010) Num campeonato de futebol, os times ganham 3 pontos em cada vitória, 1 ponto por empate 
e 0 ponto por derrota. O time Cruzadão participou de 50 jogos e fez 54 pontos, tendo perdido 12 jogos. Chame de 
v o número de jogos que Cruzadão venceu; d o número de jogos em que foi derrotado; e e os jogos em que houve 
empate. Assinale a alternativa que mostra corretamente o sistema de equações que representa essa situação.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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4. (SARESP 2013) Num jogo de conquista de território, é usado um tabuleiro com o eixo das ordenadas e 
abscissas como base para o começo do jogo. 
Duas equipes são formadas (equipe 1 e equipe 2). Cada equipe recebe 5 cartas com as coordenadas geométricas 
para o posicionamento de suas peças. As peças da equipe 1 estão representadas no plano cartesiano pelos 
pontos P, Q, R, S, e T. As coordenadas P, Q, R, S e T da equipe 1 são, respectivamente:
a. (2, 1); (1, 3); (3, 2); (– 2, – 3) e (4, 2).
b. (2, 1); (– 1, 3); (– 3, 2); (– 2, – 4) e (4, – 2).
c. (1, 2); (– 1, – 3); (3, 2); (2, 3) e (– 4, 2).
d. (2, 1); (1, – 3); (– 3, 2); (– 2, – 3) e (4, – 2).
e. (1, 2); (– 1, 3); (3, 2); (2, – 3) e (4, 2).
5. Construa, no plano cartesiano a seguir, o gráfico da função y = 2x – 1. Para isso, você deverá: escolher 
5 valores para x; calcular os valores de y correspondentes; preencher completamente o quadro abaixo; e, 
em seguida, marcar os pontos corretamente no plano.
X Y (X, Y)
y
x
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4. (SARESP 2013) Num jogo de conquista de território, é usado um tabuleiro com o eixo das ordenadas e 
abscissas como base para o começo do jogo. 
Duas equipes são formadas (equipe 1 e equipe 2). Cada equipe recebe 5 cartas com as coordenadas geométricas 
para o posicionamento de suas peças. As peças da equipe 1 estão representadas no plano cartesiano pelos 
pontos P, Q, R, S, e T. As coordenadas P, Q, R, S e T da equipe 1 são, respectivamente:
a. (2, 1); (1, 3); (3, 2); (– 2, – 3) e (4, 2).
b. (2, 1); (– 1, 3); (– 3, 2); (– 2, – 4) e (4, – 2).
c. (1, 2); (– 1, – 3); (3, 2); (2, 3) e (– 4, 2).
d. (2, 1); (1, – 3); (– 3, 2); (– 2, – 3) e (4, – 2).
e. (1, 2); (– 1, 3); (3, 2); (2, – 3) e (4, 2).
5. Construa, no plano cartesiano a seguir, o gráfico da função y = 2x – 1. Para isso, você deverá: escolher 
5 valores para x; calcular os valores de y correspondentes; preencher completamente o quadro abaixo; e, 
em seguida, marcar os pontos corretamente no plano.
X Y (X, Y)
AULAS 5 E 6 – AINDA SOBRE AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES
OBJETIVOS DA AULA
• Expressar os pontos de uma reta traçada no plano cartesiano por meio de uma equação da forma y = ax + b;
• Representar um sistema de duas equações de 1º grau por retas no plano cartesiano;
• Utilizar sistemas de equações do 1º grau em situações-problemas contextualizadas.
1. O gráfico a seguir representa a quantidade vendida (x) de um livro em função do preço de capa (y). 
Analisando o gráfico, podemos verificar que, ao diminuir o preço do livro, a quantidade de consumidores 
que o compram aumenta. Supondo que essa relação ocorre de forma linear, pede-se:
a. A equação da reta que contém os pontos A e B.
b. O valor do livro para que nenhum consumidor deseje comprá-lo.
2. (SARESP - 2010) Num campeonato de futebol, os times ganham 3 pontos em cada vitória, 1 ponto por empate 
e 0 ponto por derrota. O time Cruzadão participou de 50 jogos e fez 54 pontos, tendo perdido 12 jogos. Chame de 
v o número de jogos que Cruzadão venceu; d o número de jogos em que foi derrotado; e e os jogos em que houve 
empate. Assinale a alternativa que mostra corretamente o sistema de equações que representa essa situação.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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3. Em competições do tipo “tiro ao alvo”, a pontuação depende do local 
em que o competidor acerta o alvo. Imagine uma situação em que existem 
apenas duas regiões possíveis para pontuar: A e B. Cris marcou 17 pontos 
ao lançar três flechas, das quais acertou uma na região A e duas na região 
B. Sua adversária, Kate, conseguiu 22 pontos lançando a mesma quantidade 
de flechas que Cris, mas acertando uma na região B e duas na região A. 
Considerando o desempenho das duas atletas, qual é o sistema de equações 
que representa mais adequadamente a pontuação de Cris e Kate? Fonte: Acervo do autor
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
4. As retas x + y + 3 = 0 e x + y - 6 = 0 são paralelas. Use a malha quadriculada (ANEXO 1) e régua para 
representar r e s no mesmo plano cartesiano.
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5. Determine o ponto de intersecção entre as retas cujas representações algébricas são: r: 2x + y - 3 = 0 
e s: 4x - 3y + 9 = 0.
6. Observe as representações algébricas seguintes: r: x + y – 5 = 0 e s: 2x - y - 7 = 0. Estude as duas, 
represente-as no plano e conclua: elas correspondem a retas paralelas ou concorrentes? Você poderá usar 
a malha quadriculada (ANEXO 1) e régua.
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3. Em competições do tipo “tiro ao alvo”, a pontuação depende do local 
em que o competidor acerta o alvo. Imagine uma situação em que existem 
apenas duas regiões possíveis para pontuar: A e B. Cris marcou 17 pontos 
ao lançar três flechas, das quais acertou uma na região A e duas na região 
B. Sua adversária, Kate, conseguiu 22 pontos lançando a mesma quantidade 
de flechas que Cris, mas acertando uma na região B e duas na região A. 
Considerando o desempenho das duas atletas, qual é o sistema de equações 
que representa mais adequadamente a pontuação de Cris e Kate? Fonte: Acervo do autor
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
4. As retas x + y + 3 = 0 e x + y - 6 = 0 são paralelas. Use a malha quadriculada (ANEXO 1) e régua para 
representar r e s no mesmo plano cartesiano.
MATEMÁTICA | 9 
5. Determine o ponto de intersecção entre as retas cujas representações algébricas são: r: 2x + y - 3 = 0 
e s: 4x - 3y + 9 = 0.
6. Observe as representações algébricas seguintes: r: x + y – 5 = 0 e s: 2x - y - 7 = 0. Estude as duas, 
represente-as no plano e conclua: elas correspondem a retas paralelas ou concorrentes? Você poderá usar 
a malha quadriculada (ANEXO 1) e régua.
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AULAS 7 E 8 – ELABORAR E SOLUCIONAR PROBLEMAS
OBJETIVOS DA AULA
• Resolver sistemas de duas equações de 1º grau por diferentes estratégias (mental, processo algébrico, 
geométrico);
• Elaborar problemas que envolvam sistemas de equações de 1º grau;
• Utilizar sistemas de equações de 1º grau para resolver situações-problema em contexto.
1. Discuta sobre a situação seguinte com seu colega de dupla. Após isso, solucione o sistema usando 
cálculo mental, procedimentos algébricos e através da representação geométrica.
(SARESP - 2012) Considere o seguinte sistema: 
Então, os valores de x e y são, respectivamente:
a. 10 e 30.
b. 3 e 40.
c. 20 e 3.
d. 30 e 10.
2. Agora é a sua vez! Seja criativo e, juntamente com o seu colega de dupla, elabore um problema que 
seja possível solucionar usando um sistema de equações. Após a elaboração, troque o seu problema com 
a dupla vizinha e o resolva. Para finalizar, socialize com a turma o seu entendimento sobre o problema 
elaborado pela outra dupla, e também o caminho que usou para resolvê-lo.
IMAGENS E ILUSTRAÇÕES
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ANEXO 1
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 10 | MATEMÁTICA
AULAS 7 E 8 – ELABORAR E SOLUCIONAR PROBLEMAS
OBJETIVOS DA AULA
• Resolver sistemas de duas equações de 1º grau por diferentes estratégias (mental, processo algébrico, 
geométrico);
• Elaborar problemas que envolvam sistemas de equações de 1º grau;
• Utilizar sistemas de equações de 1º grau para resolver situações-problema em contexto.
1. Discuta sobre a situação seguinte com seu colega de dupla. Após isso, solucione o sistema usando 
cálculo