Respostas Show Resposta Questão 1 Independentemente do polígono a que o exercício ou situação se refira, a soma dos seus ângulos internos tem valor fixo e é dada pela fórmula S = (n – 2)·180, em que n é o número de lados do polígono. Logo, Soma dos ângulos internos do triângulo: S = (3 – 2)·180 S = 1·180 S = 180° Qualquer que seja o triângulo, a soma de seus ângulos internos sempre será igual a 180°. Isso pode ser usado quando conhecemos as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo e é necessário calcular o valor da última. Soma dos ângulos internos de um retângulo: S = (4 – 2)·180 S = 2·180 S = 360° Não só retângulos, mas qualquer que seja o quadrilátero, a soma de seus ângulos internos será 360°. Resposta Questão 2 A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é dada por: S = (n – 2)·180 Sabendo que o número de lados da figura é 4, basta substituir n por 4: S = (4 – 2)·180 S = 2·180 S = 360° Agora some os ângulos internos dessa figura e iguale o resultado a 360°: 2x + 4x + 2x + 4x = 360 12x = 360 x = 360 x = 30 Agora basta substituir x em cada ângulo para descobrir os seus valores. 4x = 4·30 = 120° e 2x = 2·30 = 60° Os ângulos são 120° e 60°. Resposta Questão 3 Na ponta da estrela onde está destacado o ângulo θ, temos o encontro de três ângulos internos de pentágonos regulares. Para descobrir a medida de cada um desses ângulos, basta calcular a soma dos ângulos internos do pentágono e dividir por 5. A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono é: S = (n – 2)·180 *n é o número de lados do polígono. No caso desse exercício: S = (5 – 2)·180 S = 3·180 S = 540 Dividindo a soma dos ângulos internos por 5, pois um pentágono possui cinco ângulos internos, encontraremos 108° como medida de cada ângulo interno. Observe na imagem anterior que a soma de três ângulos internos do pentágono com o ângulo θ tem como resultado 360°. 108 + 108 + 108 + θ = 360 324 + θ = 360 θ = 360 – 324 θ = 36° Letra D. Resposta Questão 4 Heptágonos são figuras geométricas que possuem sete lados, sete vértices e sete ângulos. Como esse heptágono é regular, então todos os seus ângulos e lados possuem a mesma medida. A soma dos ângulos internos do heptágono é: S = (n – 2)·180 S = (7 – 2)·180 S = 5·180 S = 900° Cada ângulo interno do heptágono regular mede a soma dos ângulos internos dividida por 7. 900 = 128,57 Agora, resta apenas descobrir o valor de um ângulo externo. Os ângulos externos de um polígono são suplementares aos ângulos internos respectivos. Portanto, a soma entre um ângulo interno e seu ângulo externo tem como resultado 180°. Dessa forma, os ângulos externos da moeda de 25 centavos medem: 128,57 + x = 180 x = 180 – 128,57 x = 51,43° Letra E. Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta. Essa figura é fechada e nenhum desses segmentos de reta encontra-se a não ser em suas extremidades. Quando o polígono é convexo, é possível descobrir a soma dos seus ângulos internos sem ter que medi-los. Isso é feito por meio de uma fórmula matemática. Polígono convexo Um polígono é convexo quando o segmento de reta cujas extremidades são pontos do interior do polígono está inteiramente dentro dele. Em outras palavras, alguns polígonos possuem uma espécie de “boca”, de modo que é possível escolher dois de seus pontos e ligá-los por um segmento de reta que não está inteiramente dentro do polígono. Esses são os chamados não convexos. Observe a imagem a seguir que mostra um polígono convexo à esquerda e um não convexo à direita. Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Tendo isso em mente, podemos pensar em dividir os polígonos convexos em triângulos. Se um polígono pode ser dividido em três triângulos, por exemplo, a soma dos seus ângulos internos é igual a 3 vezes 180. Para tanto, é preciso criar uma divisão em que a soma dos ângulos dos triângulos seja igual à soma dos ângulos dos polígonos. É fácil ver que, se escolhermos um vértice de um polígono, as suas diagonais formarão triângulos que cumprem esse pré-requisito. Observe a imagem a seguir: Essa figura é um hexágono. Repare que, partindo de um mesmo vértice, é possível dividi-lo em quatro triângulos. Para qualquer figura, sempre será possível encontrar n – 3* diagonais partindo do mesmo vértice e, consequentemente, serão formados n – 2* triângulos nesse processo (*n = número de lados do polígono). Como já foi dito, a soma dos ângulos internos de um polígono é igual ao número de triângulos formados dentro dele multiplicado por 180°. Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é: S = (n – 2)180° Exemplos:
Os icoságonos são polígonos que possuem 20 lados. A soma dos ângulos internos é: S = (n – 2)180 S = (20 – 2)180 S = 18·180 S = 3280°
Polígonos regulares possuem ângulos congruentes. Assim, já sabendo que a soma dos ângulos internos do icoságono é 3280°, cada ângulo dele é igual a: 3280
= 162°
Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto: Como calcular os ângulos internos de um polígono convexo?A soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão: S = (n – 2 )*180º, onde n = número de lados. Para calcular o valor de cada ângulo é preciso dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono.
Como calcular a soma dos ângulos internos é externos de um polígono convexo?A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende das diagonais que partem de um mesmo vértice. A soma dos externos é sempre 360°. Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.
Como calcular a soma dos ângulos internos de um poliedro convexo?Em todo poliedro convexo de V vértices, a soma dos ângulos de todas as suas faces é dada por: S = (V − 2) 360◦.
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