Oque é potenciaçao raiz quadrada e expressoes numericas

Para se chegar ao valor numérico de uma expressão numérica é preciso obedecer às regras de resolução de uma expressão numérica; e quando encontra-se em sua estrutura uma potência é preciso dar preferência a ela. Veja alguns exemplos de expressões numéricas com potência em sua estrutura. Exemplo:

• 3 . {43 – [5 . 60 + 7 . (92 – 80)]}

Nessa expressão numérica, resolvem-se as potências 43, 60 e 92 antes de qualquer outra operação.

• (33 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (32 . 2 + 10)2]}

Nessa expressão numérica, resolvem-se as potências 33 e 32 antes de qualquer outra operação.

(27 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (9 . 2 + 10)2]}

Para resolver as potências (9 + 3 . 7)2 e (9 . 2 + 10)2 é preciso resolver as operações que estão dentro dos parênteses.

(27 + 21)2 : {4 . [800 – (18 + 10)2]}

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Publicado por Danielle de Miranda

Expressões numéricas são conjuntos de números que sofrem operações matemáticas com uma ordem de operações preestabelecida. Para que você aprenda a resolvê-las, primeiramente, destacaremos a prioridade que as operações matemáticas possuem.

Ordem das operações

As operações matemáticas estudadas no Ensino Fundamental são: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. A ordem em que elas devem ser resolvidas em uma expressão numérica é a seguinte:

→ Potenciação e radiciação

Em uma expressão numérica, sempre resolva primeiro as potências e raízes antes de qualquer outra operação matemática. A única exceção é para o caso em que aparecem colchetes, chaves ou parênteses. Vale ressaltar que, entre potências e raízes, não há prioridade.

→ Multiplicação e divisão

Em segundo lugar, quando não houver mais potências ou raízes, devem ser feitas as multiplicações e divisões. Entre essas duas, também não há prioridade. Realize aquela que aparecer primeiro ou que facilitará os cálculos.

→ Adição e subtração

Por último, realize as somas e diferenças. Também não há prioridade entre elas. Resolva-as na ordem em que aparecerem.

Ordem entre colchetes, chaves e parênteses

Em algumas expressões numéricas, uma parte da expressão pode ter prioridade em relação às outras. Essa parte deve ser separada com parênteses, chaves e/ou colchetes. A prioridade em que as operações devem ser feitas é a seguinte:

→ Parênteses

Em primeiro lugar, devem ser feitas todas as operações que estiverem dentro dos parênteses. Se houver muitas operações, a ordem que deve ser seguida é a das operações, dada anteriormente.

→ Colchetes

Em segundo lugar, as operações que estiverem dentro de colchetes deverão ser feitas também de acordo com a ordem das operações dada anteriormente.

Lembre-se apenas de que os parênteses aparecem sozinhos ou dentro de colchetes. Nesse caso, quando sobrar apenas um número dentro dos parênteses, estes podem ser eliminados.

→ Chaves

Por último, as operações dentro de chaves também devem ser realizadas de acordo com a ordem das operações.

Exemplo:

{15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

Observe que existem dois parênteses dentro de colchetes. Qualquer um dos dois pode ser feito primeiro ou ambos podem ser realizados ao mesmo tempo, desde que não se misturem os cálculos para cada um. Faremos na ordem em que aparecem. Isso é o mais indicado a ser feito.

Assim, para os primeiros parênteses, faremos a potência; depois, a divisão e, por fim, a subtração:

{15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [(7 – 100:100) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [(7 – 1) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [(6) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

Nesse caso, os parênteses podem ser eliminados.

{15 + [6 + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

Agora os parênteses seguintes. Primeiro, a raiz quadrada; depois, divisão e subtração.

{15 + [6 + (16:2 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [6 + (8 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [6 + (4)]2 + 10}·3

{15 + [6 + 4]2 + 10}·3

Note que, dentro dos colchetes, sobrou apenas uma adição. Depois de realizá-la, o número que sobrar deverá ser elevado ao quadrado. Assim, obteremos:

{15 + [10]2 + 10}·3

{15 + 100 + 10}·3

Agora, falta apenas realizar os cálculos dentro das chaves e multiplicar o resultado por 3:

{15 + 100 + 10}·3

125·3

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Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

A potenciação expressa um número na forma de potência. Quando um mesmo número é multiplicado diversas vezes, podemos fazer a substituição por uma base (número que se repete) elevada a um expoente (número de repetições).

Por outro lado, a radiciação é a operação oposta da potenciação. Ao elevar um número ao expoente e extrairmos a sua raiz, voltamos ao número inicial.

Veja um exemplo de como ocorrem os dois processos matemáticos.

Potenciação	Radiciação

Potenciação

Potenciação é a operação matemática utilizada para escrever de forma resumida números muito grandes, onde é feita a multiplicação de n fatores iguais que se repetem.

Representação:

Exemplo I: potenciação de números naturais

Para essa situação, temos: dois (2) é a base, três (3) é o expoente e o resultado da operação, oito (8), é a potência.

Exemplo II: potenciação de números fracionários

Quando uma fração é elevada a um expoente, seus dois termos, numerador e denominador, são multiplicados pela potência.

Lembre-se!

• Todo número natural elevado à primeira potência tem como resultado ele mesmo, por exemplo, .
• Todo número natural não nulo quando elevado a zero tem como resultado 1, por exemplo, .
• Todo número negativo elevado a um expoente par tem resultado positivo, por exemplo, .
• Todo número negativo elevado a um expoente ímpar tem resultado negativo, por exemplo, .
• Toda base inteira elevada a um expoente negativo é o inverso da base elevada ao módulo (o positivo) do expoente, por exemplo,
  .
• Toda base fracionária elevada a um expoente negativo é o inverso da base elevada ao módulo (o positivo) do expoente, por exemplo,
  
  
  .

Propriedades da potenciação

1. Produto de potências de mesma base

Definição: repete-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplo:

2. Divisão de potências de mesma base

Definição: repete-se a base e subtraem-se os expoentes.

Exemplo:

3. Potência de potência

Definição: mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Exemplo:

4. Distributiva em relação à multiplicação

Definição: multiplicam-se as bases e mantém-se o expoente.

Exemplo:

5. Distributiva em relação à divisão

Definição: dividem-se as bases e mantém-se o expoente.

Exemplo:

Saiba mais sobre:

Radiciação

A radiciação calcula o número que elevado a determinado expoente produz o resultado inverso da potenciação.

Representação:

Exemplo I: radiciação de números naturais.

Para essa situação, temos: três (3) é o índice, oito (8) é o radicando e o resultado da operação, dois (2), é a raiz.

Exemplo II: radiciação de números fracionários.

A radiciação também pode ser aplicada às frações, de modo que o numerador e o denominador tenham suas raízes extraídas.

Saiba sobre a Radiciação.

Propriedades da radiciação

Propriedade I: raiz para potência com expoente fracionário. O denominador do expoente é o índice da potência.

Exemplo:

Propriedade II: O radicando pode ser fatorado e expresso com expoente igual ao do índice. Após a simplificação, o resultado é a base do radicando.

Exemplo:

Propriedade III: ao multiplicar o índice da raiz e o expoente do radicando pelo mesmo valor, o resultado não se altera.

Exemplo:

Propriedade IV: ao multiplicar raízes com mesmo índice devemos mantê-lo, multiplicando os radicais.

Exemplo:

Propriedade V: uma raiz de uma fração é igual à raiz do numerador dividido pela raiz do denominador, com os mesmos índices.

Exemplo:

Propriedade VI: uma potência de uma raiz é igual a mesma raiz com o radicando elevado ao expoente da potência.

Exemplo:

Propriedade VII: raiz de raiz. Mantém-se o radical e multiplicam-se os índices.

Exemplo:

Você também pode se interessar por Racionalização de denominadores.

Exercícios resolvidos de potenciação e radiciação

Questão 1

Aplique as propriedades da potenciação e radiciação pra resolver as expressões a seguir.

a) 45, sabendo que 44 = 256.

b)

c)

Veja também: Simplificação de Radicais

Questão 2

Se , calcule qual o valor de n.

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: 16.

1º passo: isolar a raiz em um lado da equação.

2º passo: eliminar a raiz e encontrar o valor de n utilizando as propriedades da radiciação.

Sabendo que podemos elevar os dois membros da equação ao quadrado e, assim, eliminar a raiz, pois .

Calculamos o valor de n e encontramos o resultado 16.

Para mais questões, veja também Exercícios de Radiciação.

Questão 3

(Fatec) Das três sentenças abaixo:

a) somente a I é verdadeira; b) somente a II é verdadeira; c) somente a III é verdadeira; d) somente a II é falsa;

e) somente a III é falsa.

Veja também: Exercícios sobre Simplificação de Radicais

Questão 4

(PUC-Rio) Simplificando a expressão , encontramos:

a) 12 b) 13 c) 3 d) 36

e) 1

Para mais questões, veja também Exercícios de Potenciação.