O perímetro da figura abaixo sabendo que a e b são quadrados é

A área do retângulo é uma grandeza que mede a superfície desse paralelogramo. O retângulo é um caso particular de quadrilátero, fazendo parte do grupo daqueles que possuem todos os ângulos internos retos. Para calcular a área do retângulo, basta calcular o produto entre a sua base e a sua altura, ou seja, a área é dada pela fórmula \(A=b\cdot h\).

Além da área, outra grandeza importante é o perímetro. Para calcular o perímetro de um retângulo, deve-se somar os seus quatro lados. Logo, o perímetro pode ser encontrado pela fórmula \(P=2\left(b+h\right)\).  

Leia também: Como calcular a área da esfera?

Resumo sobre área do retângulo

• O retângulo é um polígono que possui quatro lados e todos os ângulos internos retos.

• Para calcular a área de um retângulo, calculamos o produto entre a sua base (b) e a sua altura (h):

\(A=b\cdot h\)

• O perímetro do retângulo é igual à soma dos seus 4 lados e pode ser calculado pela fórmula:

\(P=2\left(b+h\right)\)

• A diagonal do retângulo o divide em dois triângulos retângulos, sendo necessário apenas aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar seu valor:

\(d=h^2+b^2\)

Para aprender a calcular a área de um retângulo, é importante relembrar o que é um retângulo. Conhecemos como retângulo um caso particular de quadrilátero, ou seja, polígono de quatro lados. Desse modo, um quadrilátero é conhecido como retângulo quando ele possui todos os ângulos internos retos. Um ângulo reto é um ângulo de 90°.

Qual a fórmula da área do retângulo?

A área é uma grandeza importante para o estudo dos polígonos — trata-se da medida da superfície de uma figura plana. Para calcular a área de um retângulo, é necessário multiplicar o valor da base pelo valor da altura. Assim, é preciso conhecer os comprimentos da base e da altura. A fórmula para calcular a área de um retângulo de base b e altura h é:

\(A=b\cdot h\)

Passo a passo de como calcular a área de um retângulo

Conhecendo os comprimentos da base e da altura de um retângulo, basta realizar sua multiplicação para encontrar o valor da área.

Calcule a área do seguinte retângulo:

Resolução:

Analisando o retângulo, temos que:

b = 12 cm

h = 5 cm

Calculando o produto da base pela altura:

\(A=b\cdot h\)

\(A=12\cdot5\)

\(A=60\ \)

A área do retângulo é, portanto, igual a 60 cm².

Um retângulo possui dimensões iguais a 18 cm de base e 24 cm de altura. Qual o valor da sua área?

Resolução:

Sabemos que a base é de 18 cm (logo, b = 18) e que a altura é de 24 cm (então, h = 24). Substituindo na fórmula:

\(A=b\cdot h\)

\(A=18\cdot24\)

\(A=432\ \)

A área do retângulo é, portanto, de 432 cm².

Veja também: Como calcular a área do cone?

Perímetro do retângulo

O perímetro também é uma grandeza importante no estudo dos polígonos. Chamamos de perímetro a soma de todos os lados do polígono. Como o retângulo possui lados opostos congruentes, ou seja, com a mesma medida, o perímetro de um retângulo pode ser calculado pela fórmula:

\(P=2\left(b+h\right)\)

Calcule o perímetro de um retângulo que possui base igual a 11 cm e altura igual a 7 cm.

Resolução:

\(P=2\left(b+h\right)\)

\(P=2\left(11+7\right)\)

\(P=2\cdot18\ \)

\(P=36\ cm\)

Assim, o perímetro desse retângulo é de 36 cm.

Exemplo 2:

Calcule o perímetro do seguinte retângulo:

Resolução:

Nesse retângulo, o comprimento da base é de 4 cm e da altura é de 10 cm.

Calculando o perímetro:

\(P=2\left(b+h\right)\)

\(P=2(4+10)\)

\(P=2\cdot14\ \)

\(P=28\ cm\)

Saiba mais: Como calcular a área e o perímetro das figuras planas?

Diagonal do retângulo

Conhecemos como diagonal de um retângulo o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos do quadrilátero. Na figura abaixo, a diagonal é representada por d.

Quando traçamos a diagonal de um retângulo, dividimos um retângulo em dois triângulos retângulos. Para encontrar o comprimento da diagonal do polígono, basta aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo formado.

\(d=h^2+b^2\)

Calcule a diagonal de um retângulo que possui base igual a 35 cm e altura medindo 12 cm.

Resolução:

Dadas b = 35 e h = 12, substituindo na fórmula da diagonal, temos que:

\(d^2=h^2+b^2\)

\(d^2={12}^2+{35}^2\)

\(d^2=144+1225\)

\(d^2=1369\)

\(d=\sqrt{1369}\)

\(d\ =\ 37\)

Calcule a diagonal do retângulo a seguir:

Resolução:

Analisando os dados, temos que:

b = 15 cm

h = 8 cm

Calculando o comprimento da diagonal:

\(d^2=8^2+{15}^2\)

\(d^2=64+225\)

\(d^2=289\)

\(d=\sqrt{289}\)

\(d=17\ cm\)

A diagonal mede 17 cm.

Exercícios resolvidos sobre área do retângulo

Questão 1

O futebol é o esporte mais tradicional no Brasil, sendo que a seleção brasileira é a seleção que coleciona mais títulos até o momento. O campo de futebol possui formato retangular, e suas dimensões devem ser de 90 m x 120 m. Em um determinado campo, a grama será toda tratada. Para saber a quantidade de produto necessário para tratá-la, é necessário calcular a área do campo. A cada 150 m² é usado 1 frasco de produto. A quantidade de frascos necessários para tratar todo o campo é de:

A) 60 unidades.

B) 65 unidades.

C) 72 unidades.

D) 84 unidades.

E) 93 unidades.

Resolução:

Alternativa C

De início, calcularemos a área do campo:

\(A=90\cdot120\)

\(A=10800\ m²\)

Dividindo a área por 150:

\(10800∶150=72\ \)

Logo, são necessárias 72 unidades de frascos.

Questão 2

A área de um terreno é de \(9030\ m^2\). Esse terreno possui 105 m de comprimento, portanto sua largura é igual a:

A) 86 m²

B) 84 m²

C) 80 m²

D) 78 m²

E) 75 m²

Resolução:

Alternativa A

Nesse caso, a largura é o mesmo que a altura, e temos que:

A = 9030

b = 105

Substituindo na fórmula:

\(A=b\cdot h\)

\(9030=105\cdot h\)

\(h=\frac{9030}{105}\)

\(h=86m^2\)

Os paralelogramos são polígonos da geometria plana bastante explorados por serem figuras geométricas comuns no nosso dia a dia. Definimos como paralelogramo um polígono que possui lados opostos paralelos, característica essa que resulta em propriedades exclusivas.

Os casos particulares de paralelogramos são os quadrados, retângulos e losangos. Para cada um desses polígonos, há fórmulas específicas para o cálculo de área e perímetro.

Leia também: Círculo e circunferência – formas geométricas com muitas particularidades

Elementos de um paralelogramo

Para ser um paralelogramo, o polígono deve possuir os lados opostos paralelos. Como características específicas, temos que:

• Todo paralelogramo é composto por quatro lados, e os lados opostos são paralelos.

• Todo paralelogramo possui quatro ângulos internos, e a soma desses ângulos é sempre igual a 360º.

• Todo paralelogramo possui duas diagonais.

Vale lembrar que os paralelogramos são casos particulares de quadriláteros, então existem características que são herdadas dessas figuras geométricas, como a existência de duas diagonais, quatro lados e quatro ângulos, bem como a soma dos ângulos internos e dos ângulos externos ser sempre igual a 360º.

• 1ª propriedade: Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes, isto é, possuem a mesma medida.

• 2ª propriedade: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes, e dois ângulos consecutivos são sempre suplementares (a soma é igual a 180º).

Sabendo que AB e CD são paralelos, então os lados BC e AD são transversais de AB e CD; consequentemente, os ângulos formados (w e x) são suplementares, pois são ângulos colaterais internos. Além disso, é possível demonstrar que os ângulos x e z são congruentes.

• 3ª propriedade: As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.

Quando traçamos as duas diagonais de um paralelogramo, o ponto de encontro delas divide cada uma delas em seus pontos médios.

AM = CM

BM= DM

Veja também: Ponto, reta, plano e espaço: conceitos básicos da geometria

Área de um paralelogramo

A área de um paralelogramo, de modo geral, é calculada pelo produto da base pela altura. Há casos particulares (retângulos, losangos e quadrados) que possuem fórmulas específicas – serão apresentadas no decorrer deste texto –, mas que surgem a partir da forma geral.

A = b.h

b: base

h: altura

Perímetro de um paralelogramo

O perímetro é dado pela soma de todos os lados. Como um paralelogramo possui, de forma geral, dois lados iguais, o seu perímetro pode ser determinado por:

P = 2 (a + b)

Casos especiais de paralelogramos

Como sabemos, por definição, para que seja um paralelogramo, o polígono precisa ter lados paralelos. Existem três quadriláteros que são tratados como casos particulares do paralelogramo: o retângulo, o losango e o quadrado.

Chamamos de quadrado um polígono de quatro lados que possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes – cada ângulo possui exatamente 90º. Como o quadrado é um paralelogramo, todas as propriedades são válidas para o quadrado.

A área de um quadrado e o seu perímetro são calculados de forma parecida com o que é feito com um paralelogramo, mas como todos os lados do quadrado são iguais, podemos representar a área e o perímetro do quadrado desta forma:

A= l²

P = 4.l

O retângulo é um paralelogramo que possui todos os ângulos congruentes. Ele recebe esse nome porque todos os seus ângulos são retos, ou seja, os quatro ângulos medem 90º. A área do retângulo é idêntica à área do paralelogramo, mas podemos tratar o lado na vertical como a altura, afinal, ele é perpendicular à base.

A=a .b

P= 2 (a + b)

O losango é um paralelogramo que possui todos os seus lados congruentes. Note que não há nenhuma restrição para os ângulos, podendo eles ser diferentes ou não. De maneira distinta dos exemplos anteriores, o cálculo da área de um losango é feito com base nas suas diagonais. Também existe uma relação muito importante entre as diagonais do losango e o seu lado.

D: diagonal maior

d: diagonal menor

l: lado

Dado um losango qualquer, sabemos que as diagonais se cruzam no ponto médio, formando quatro triângulos retângulos. Analisando um desses triângulos, é possível perceber uma relação pitagórica entre o lado e a metade de cada uma das diagonais.

Acesse também: Comprimento da circunferência e área do círculo

Relação entre os paralelogramos

É importante entender bem a definição de paralelogramo, para não ter complicação durante a classificação. É sempre bom lembrar que todo paralelogramo é um quadrilátero, mas nem todo quadrilátero é um paralelogramo.

Podemos afirmar também que todo retângulo, todo quadrado e todo losango são paralelogramos. Além disso, comparando os casos especiais de paralelogramos, podemos perceber outra relação, pois o quadrado possui ângulos congruentes, que é a definição de retângulo, e também lados congruentes, que é a definição de losango. Como consequência, podemos afirmar que todo quadrado é um retângulo e também um losango.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sabendo que a figura abaixo é um paralelogramo, qual será o valor de x, y e z respectivamente?

a) 40,140 e 180

b) 30, 100 e 100

c) 25, 140 e 95

d) 30, 90 e 145

e) 45, 55 e 220

Resolução

1º passo: Utilizando a propriedade do paralelogramo, sabemos que ângulos opostos são iguais. Ao analisar a imagem, é mais conveniente utilizar essa propriedade nos ângulos do vértice B e D, pois possuem mesma incógnita.

2º passo: Sabendo que ângulos consecutivos são suplementares e que x = 25, é possível encontrar o valor de y.

3º passo: Como os ângulos dos vértices C e A são opostos, eles são congruentes, logo podemos encontrar o valor de z.

Alternativa C.

Questão 2 - Calcule a área do paralelogramo (lados medidos em centímetros) a seguir.

a) 16 cm²

b) 32 cm²

c) 8 cm²

d) 64 cm²

e) 40 cm²

Resolução

Para encontrar a área do paralelogramo, primeiro é necessário encontrar o valor de h. Note que o triângulo AEB é retângulo de hipotenusa igual a 5, logo podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de h.

Alternativa B.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática