Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas. Show Calculando raízes Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado. A representação de raízes é feita da seguinte maneira: *n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz. Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a. L·L·L·L...L·L = a Raízes exatas e não exatas Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas: a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9 b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8 c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16 Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas: a) Raiz quadrada de 2 b) Raiz cúbica de 3 c) Raiz quarta de 5 Cálculo de raízes não exatas Caso 1 – Radicando primo Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois: 3,143 = 30,959144 Caso 2 – Radicando não primo Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz. Exemplo: Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule: Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256: 256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2 1 256 = 23·23·22 Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe: Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado: Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira: Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação. 4·1,26·1,26 = 6,35 Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática Vamos descobrir de um jeito fácil a raiz quadrada de um número O estudo da raiz quadrada é importante para várias áreas de conhecimento da matemática, então porque não termos um tópico só dela? Neste post vamos explicar tudinho que você precisa saber para encontrar a raiz quadrada de um número! 1. Números primos e fatoraçãoPara aprendermos a encontrar a raiz quadrada de um número, precisamos relembrar os números primos e a fatoração de um número. Os números primos são aqueles maiores do que 1 e que possuem apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo. Essa lista é infinita, então vamos decorar só os primeiros, ok? São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... A fatoração de um número é dada pela divisão dele por números primos, ou seja, vou reescrever um número com apenas multiplicações de números primos. Exemplo: Fatore o número 192. 192 | 2 96 | 2 48 | 2 24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 3 1 | Logo, podemos escrever o 192 = 2.2.2.2.2.2.3 ou 192 = 2 6.3 2. Raiz quadrada de um número naturalPara encontrar a raiz quadrada de um número natural, basta fatorar o número e depois juntar de dois em dois para tirar da raiz, veja o exemplo, Exemplo: Encontre a √36 36 | 218 | 2 9 | 2 3 | 2 1 | Então, podemos escrever 36 = 2.2.3.3 ou 36 = 22.32, como temos dois 2 e dois 3, logo eles “saem” da raiz, ficando √36 = 2.3 = 6 A raiz é a operação inversa da potenciação, logo para alguns casos simples basta fazer a seguinte pergunta “que número ao quadrado que resulta no valor desta raiz?”. Veja os casos mais simples: √100 = 10, pois, 102 = 100 √81= 9, pois, 92 = 81 √64= 8, pois, 82 = 64 √49= 7, pois, 72 = 49 √36= 6, pois, 62 = 36 √25= 5, pois, 52 = 25 √16= 4, pois, 42 = 16 √9= 3, pois, 32 = 9 √4= 2, pois, 22 = 4 √1= 1, pois, 12 = 1 Quando conseguimos encontrar um número que responde a essa pergunta dizemos que a raiz é exata, pois não “sobra” nada dentro da raiz. Exemplo: Encontre a raiz exata de √225 225| 3 75 | 3 25 | 5 5 | 5 1 | Então, √225 = √32.52 = 3.5 = 15 3. Raiz não exata de um númeroO mesmo procedimento é feito para as raízes não exatas, só que agora vai “sobrar” números dentro da raiz, veja: Exemplos: 192 | 2 96 | 2 48 | 2 24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 3 1 | Logo, podemos escrever √192= √2.2.2.2.2.2.3 = √22.22.22.32 = 2.2.2.√3 = 6√3 Observe que nesse exemplo só os números 2 fizeram pares entre si, o número 3 ficou sozinho, “sobrando” dentro da raiz. 245 | 5 49 | 7 7 | 7 1 | Logo, √245 = √5.72 = 7√5 221 | 13 17 | 17 1 | Neste último caso, como não temos nenhum número ao quadrado, pois temos um de cada, nada sai da raiz, então não temos uma simplificação para √221. 4. Raiz quadrada de um número fracionárioA raiz quadrada de um número fracionário é feita da mesma forma que para o número natural, só que a resposta será uma fração também, veja: Exemplo: Vamos “distribuir” a raiz para o numerador e o denominador. √16/25 = √16/√25 Agora basta encontrar suas raízes. √16/√25 = 4/5 √225/400 = √225/√400 = 15/20 Sempre precisamos simplificar a fração, então a resposta final será: 15:5/20:5 = 3/4√225/400 = 3/4 5. Raiz quadrada de um número decimalUm modo de como podemos resolver a raiz de um número decimal é passar pra fração e repetir o processo anterior, veja: Exemplo: √0,25 = √25/100 = √25/√100 = 5:5/10:5 = 1/2 = 0,5√0,16 = √16/100 = √16/√100 = 4:2/10:2 = 2/5 = 0,4👉 Se prepare para o Enem e Vestibulares estudando Matemática de graça no Descomplica! 💚 A maior sala de aula direto da sua casa!Junte-se aos 230 mil alunos que descobriram como melhorar os resultados estudando online! 👉 Clique aqui e saiba como! Você está em Ajuda > Dúvidas frequentes O melhor método para calcular a raiz quadrada é decompor o número em seus fatores primos. Por exemplo: RAIZ de 64. Decompomos o 64 seus fatores primos: 64 | 2 32 | 2 16 | 2 8 | 2 4 | 2 2 | 2 1 Logo 64 é igual a 26. Dividimos o expoente 6 pelo expoente da raiz quadrada (que é 2), e retiramos o número da raiz. Portanto, raiz de 64 é igual a 8. Saiba mais sobre decomposição em fatores primos. << Voltar para Dúvidas Frequentes Como referenciar: "Como se calcula raiz quadrada "na mão"?" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 10/06/2022 às 15:10. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/faq/raiz.php |