Considere a reta da equação y x 2 o gráfico que representa essa reta

Considere a reta da equação y x 2 o gráfico que representa essa reta

ESCOLA DE ENSINO MÉDIO BENI CARVALHO MATEMÁTICA II 3º SÉRIE Professor: Luís Augusto Descritor: D28 –Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial de 1º grau ATIVIDADE DOMICILIAR 1 ------------------------------------------------------------------- (SAEPE). A reta t, cuja equação reduzida é dada por y = kx + z, possui coeficientes k > 0 e z < 0. O gráfico que representa essa reta é ------------------------------------------------------------------- (SAEPE). A função polinomial do 1º grau 𝑓(𝑥) = ℝ → ℝ possui coeficientes angular e linear igual a 2. A representação gráfica dessa função f é ------------------------------------------------------------------- (SPAECE). A reta t de equação y = jx + k está representada no gráfico abaixo. Os coeficientes angular j e linear k, em relação ao sinal, são, respectivamente, A) negativo e negativo. B) negativo e nulo. C) positivo e negativo. D) positivo e nulo. E) positivo e positivo. ------------------------------------------------------------------- Uma pedra é largada de uma certa altura e cai em queda livre. A velocidade da pedra durante a queda pode ser expressa por tgv  , em que g = 10 m/s 2 é a aceleração da gravidade e t o tempo transcorrido. Qual é o gráfico que melhor ilustra a velocidade da pedra em função do tempo, até o momento em que ela chega no solo? ESCOLA DE ENSINO MÉDIO BENI CARVALHO MATEMÁTICA II 3º SÉRIE Professor: Luís Augusto Descritor: D28 –Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial de 1º grau ATIVIDADE DOMICILIAR 2 ------------------------------------------------------------------- Marcos Aurélio pegou um táxi comum, que cobra R$ 3,20 pela bandeirada e R$ 1,20 por quilometro rodado, para ir à casa de sua namorada, que fica a 18 km de distância. A função que representa esta situação é DxV 20,120,3)(  , onde V é o valor pago e D a distância percorrida. O melhor gráfico que representa está situação é: ------------------------------------------------------------------- Uma loja no centro de Goiânia aluga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilização da máquina. O gráfico que melhor representa o preço desse serviço é: Resposta: C ------------------------------------------------------------------- Em uma promoção de venda de camisas, o valor (P) a ser pago pelo consumidor é calculado pela expressão 35 2 1 )(  xxP , onde x é a quantidade de camisas compradas (0 ≤ x ≤ 20). O gráfico que representa o preço P em função da quantidade x é: ------------------------------------------------------------------- ESCOLA DE ENSINO MÉDIO BENI CARVALHO MATEMÁTICA II 3º SÉRIE Professor: Luís Augusto Descritor: D28 –Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial de 1º grau ATIVIDADE DOMICILIAR 3 (Saresp – SP). Qual dos gráficos abaixo representa a função dada por 32  xy ? ------------------------------------------------------------------- (SAEPI). O gráfico que melhor representa a reta de equação y = 2x - 5 é ------------------------------------------------------------------- (SAEPE). Considere a reta de equação y = x – 2. O gráfico que representa essa reta é ------------------------------------------------------------------- (2ª P.D – Seduc-GO 2012). Dada a função polinomial do 1º grau 6 2 3 )(  xxf . Identifique o gráfico que expressa tal relação. ------------------------------------------------------------------- ESCOLA DE ENSINO MÉDIO BENI CARVALHO MATEMÁTICA II 3º SÉRIE Professor: Luís Augusto Descritor: D28 –Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial de 1º grau ATIVIDADE DOMICILIAR 4 (SAEPE). Observe a função RRf : definida por 33)(  xxf . O gráfico que representa essa função é ------------------------------------------------------------------- (SAEPE). Observe abaixo o esboço dos gráficos desenhados por cinco estudantes. Qual desses estudantes representou a função afim f(x) = 4x + 1? A) Caio. B) João. C) Laís. D) Luan. E) Mara. ------------------------------------------------------------------- (SAEPE). Observe a reta de equação y = mx + n desenhada no plano cartesiano abaixo. Quais são os valores dos coeficientes m e n dessa reta? A) m > 0 e n > 0. B) m > 0 e n < 0. C) m > 0 e n = 0. D) m < 0 e n > 0. E) m < 0 e n < 0. ------------------------------------------------------------------- ESCOLA DE ENSINO MÉDIO BENI CARVALHO MATEMÁTICA II 3º SÉRIE Professor: Luís Augusto Descritor: D28 –Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial de 1º grau ATIVIDADE DOMICILIAR 5 (SAEPE). No plano cartesiano abaixo estão representadas as retas (r), (s), (p) e (m). As retas que apresentam coeficiente angular positivo e coeficiente linear negativo são A) (r) e (s). B) (s) e (m). C) (p) e (m). D) (r) e (p). E) (r) e (m). ------------------------------------------------------------------- (SAEPE). Observe no plano cartesiano abaixo a representação da reta r de equação y = mx + n. Os valores de m e n, referentes à reta r são, respectivamente iguais a A) – 4 e 4. B) – 4 e 1. C) 1 e – 4. D) 1 e 4. E) 4 e – 4 . ------------------------------------------------------------------- (Supletivo 2012 - MG). Qual dos gráficos abaixo representa a função y = – 0,5x + 4? (Resp. A) ------------------------------------------------------------------- (3ª P.D 2013 – SEDUC-GO). Observe o gráfico a seguir. Qual das funções a seguir é a representação correta deste gráfico? Link para videoaula: https://www.youtube.com/watch?v=xDTd2a4NJ40 Bom Estudo! https://www.youtube.com/watch?v=xDTd2a4NJ40

Considere a reta da equação y x 2 o gráfico que representa essa reta
Considere a reta da equação y x 2 o gráfico que representa essa reta
Considere a reta da equação y x 2 o gráfico que representa essa reta

A equação geral da reta é uma maneira algébrica de se estudar o comportamento de uma reta no plano cartesiano. Na geometria analítica, estudamos a fundo objetos da geometria plana representados no plano cartesiano. Um desses objetos é a reta, que pode ter seu comportamento descrito pela equação ax + by + c = 0, os coeficientes a, b e c são todos números reais, em que a e b são diferentes de zero.

Para encontrar a equação geral da reta, é necessário conhecer pelo menos dois pontos pertencentes a essa reta. Conhecendo os dois pontos da reta, existem dois métodos distintos para se encontrar a equação geral da reta. Além da equação geral da reta, existem outras que podem descrever esse comportamento, sendo elas a equação reduzida da reta e a equação segmentária da reta.

Leia também: O que é um par ordenado?

Passo a passo para encontrar a equação geral da reta

Considere a reta da equação y x 2 o gráfico que representa essa reta
Representação da reta no plano cartesiano.

Para encontrarmos a equação geral da reta, existem dois métodos, um deles utiliza a equação reduzida da reta para chegar-se à equação geral, já o outro é o cálculo do determinante de ordem 3, em ambos os métodos, é necessário conhecer, pelo menos, dois pontos da reta.

Antes de compreender como encontrar a equação da reta geral, veja alguns exemplos.

Exemplo de equação geral da reta:

a) – 3x + 4y + 7 = 0

b) x + y – 3 = 0

c) 2x – 5y  = 0

Então, para encontrar a equação geral de uma reta, é necessário conhecer dois pontos dessa reta. Seja A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos pertencentes à reta cujos valores das coordenadas são conhecidos, para encontrar a equação geral da reta, podemos seguir alguns passos ao definirmos o método que será utilizado.

Para encontrar a equação geral da reta, utilizaremos duas fórmulas:

Em que (xp, yp) é um dos pontos que conhecemos.

Exemplo:

A(2,1) e B(5,7)

1º passo: encontrar o coeficiente angular m.

2º passo: escolher um dos pontos e substituir os valores de m e desse ponto na equação, igualando-a a zero.

y – yp = m (x – xp)

Sabendo que m = 2, e escolhendo o ponto A(2,1), temos que:

y – 1 = 2 (x – 2)

y – 1 = 2x – 4

y – 2x – 1 + 4 = 0

– 2x + y  + 3 = 0 → equação geral da reta r.

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?

Vamos construir a matriz com os dois pontos que conhecemos: os valores A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto arbitrário, e C (x,y).

1º passo: montar a matriz.

2º passo: resolver a equação det(M) = 0.

Para que os pontos estejam alinhados, o valor do determinante da matriz tem que ser igual a zero, por isso, igualamos o determinante da matriz M a zero.

Exemplo:

Utilizando os pontos do exemplo anterior, encontraremos a equação geral da reta.

A(2,1), B(5,7) e C(x,y)

Primeiro vamos montar a matriz:

Agora calcularemos o seu determinante:

det(M) = 14 + x + 5y – 7x – 5 – 2y = 0

det(M) = 3y – 5x + 9 = 0

Note que essa é a equação de uma reta, sendo assim, a equação geral da reta que passa pelos pontos A, B e C é – 5x + 3y  + 9 = 0.

Equação reduzida da reta

Outra forma de representar a equação da reta é a equação reduzida. A diferença da equação geral para a equação reduzida é que, na equação geral, o segundo membro é sempre igual a zero, agora, na equação reduzida, vamos sempre isolar o y no primeiro membro. A equação reduzida da reta é sempre descrita por y = mx + n, em que m e n são números reais, com m diferente de zero.

Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a reduzida apenas isolando o y.

Exemplo:

– 5x + 3y + 9 = 0

Vamos isolar o y no primeiro membro:

Toda reta pode ser representada por uma equação geral e por uma equação reduzida. Muitas vezes a equação reduzida é mais interessante. Já que o m é conhecido como coeficiente angular,  com base nele é possível obter-se informações importantes da reta, pois seu valor traz informações sobre a inclinação dela. Já o n é o coeficiente linear, que é o ponto no plano cartesiano em que a reta corta o eixo y.

Equação segmentária da reta

Assim como a equação geral e a equação reduzida da reta, a equação segmentária é uma maneira de representar a equação da reta. A equação segmentária tem esse nome porque ela nos informa os pontos em que a reta intercepta os eixos x e y. A equação segmentária da reta é descrita por:

Exemplo:

Encontre a equação segmentária da reta -5x + 3y – 9 = 0.

Vamos isolar o termo independente 9 no segundo membro:

-5x + 3y = 9

Agora vamos dividir toda a equação por 9:

Agora vamos reescrever cada um dos termos colocando c/a e c/b.

Acesse também: Qual é a equação geral da circunferência?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – A representação da equação 4x – 2y – 6 = 0, em sua forma reduzida, é:

A) y = 2x – 3 B) y = -2x + 3 C) y = 2x + 3 D) y = -2x – 3

E) 2y = 4x – 6

Resolução

Alternativa A

Primeiro vamos isolar o y:

-2y = -4x + 6, como o coeficiente de y é negativo, multiplicaremos a equação por -1.

2y = 4x – 6, dividindo todos os termos por 2, encontraremos a equação reduzida.

y = 2x – 3

Questão 2 – A equação geral da reta representada no plano cartesiano é:

A) 2x + 2y – 6 = 0 B) x + y – 9 = 0 C) 2x – y + 3 = 0 D) -2x + y + 3 = 0

E) x + 2y – 3 = 0

Resolução

Alternativa D

Primeiro vamos identificar os dois pontos, são eles A(2,1) e B(3,3). Seja P(x,y) um ponto qualquer da reta, devemos calcular o determinante da matriz M e igualar a zero, colocando em cada linha o valor de x, y e 1.

det(M) = 6 + x + 3y – 3x – 3 – 2y = 0

det(M) = -2x + y + 3 = 0