Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas. Calculando raízes Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado. A representação de raízes é feita da seguinte maneira: *n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz. Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a. L·L·L·L...L·L = a Raízes exatas e não exatas Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas: a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9 b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8 c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16 Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas: a) Raiz quadrada de 2 b) Raiz cúbica de 3 c) Raiz quarta de 5 Cálculo de raízes não exatas Caso 1 – Radicando primo Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois: 3,143 = 30,959144 Caso 2 – Radicando não primo Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz. Exemplo: Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule: Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256: 256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2 1 256 = 23·23·22 Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe: Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado: Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira: Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação. 4·1,26·1,26 = 6,35 Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática
If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados. Somente os números considerados quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata, como por exemplo, o número 64 possui raiz quadrada igual a 8, pois 8² = 64. Então, dizemos que ele é um número quadrado perfeito. Observe outros algarismos considerados quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,... Aproximação por falta utilizando duas casas decimais. 3,46 * 3,46 = 11,97 Aproximação por excesso utilizando duas casas decimais. Exemplo 2 A √45 está localizada entre os seguintes números quadrados perfeitos: 36 e 49. Observe: √36 = 6 √49 = 7 A √45 pertence ao intervalo entre os números: 6 e 7. Realizando a aproximação do resultado com duas casas decimais: Aproximação por falta Aproximação por excesso Temos que a √45 possui como resultado aproximado, as seguintes opções: 6,70 ou 6,71. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018) Números decimais quando dentro de uma raiz quadrada possuem algumas peculiaridades ao calcular o seu valor, mas as propriedades sobre radiciação continuam valendo. Seja a igualdade dizemos que b é a raiz quadrada de a, ou seja:
O símbolo é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice. Propriedades de radiciação1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Como estamos lidando apenas com raízes quadradas de números decimais neste texto, consideremos a partir de agora que o índice sempre será 2. Calculando o valor de raízesExemplo 1) Vamos calcular o valor de . O método mais simples para calcularmos essa raiz é aquele em que transformamos o número decimal em uma fração: Então, se seguirmos a propriedade (6), temos:
Exemplo 2) Calcule . Transformando em fração: . Então: . Exemplo 3) Agora, vamos calcular um número decimal com dízima periódica numa raiz quadrada: ou Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos:
Então:
Exemplo 4) Um exemplo interessante agora. Vamos calcular: ou Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos:
Então:
Esta é uma das formas de provar que 0,999... = 1. Referências Bibliográficas DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013. MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974. Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/raiz-quadrada-de-numeros-decimais/ |