Ao pensarmos no cubo de um número, pode ser que façamos a associação com uma figura geométrica tridimensional, que possui todas as suas faces com aresta de mesma medida. Essa figura geométrica é o cubo, e todo o cubo possui três dimensões, sendo elas: comprimento, altura e largura. Show Calcula-se o volume de um cubo por meio do produto dessas três dimensões. Veja o cubo abaixo: As dimensões desse cubo são dadas por: 1 centímetro de altura, 1 centímetro de comprimento e 1 centímetro de largura. Para calcularmos o volume desse cubo devemos multiplicar suas três dimensões. V = 1 cm . 1 cm . 1 cm = 1 cm3 (lê-se 1 centímetros cúbicos) Observe que o expoente do centímetro é o número 3, e esse número foi obtido graças à utilização da propriedade de potência que diz: Bases iguais em um produto, conserva-se a base e soma-se os expoentes. Temos então que o termo cúbico é obtido pelo produto de um número por si mesmo três vezes. A fórmula para obtermos um termo numérico/algébrico com expoente cúbico e dado por: a . a . a = a3 Agora, para entendermos o que é raiz cúbica precisamos inicialmente conhecer a sua estrutura. Veja: a = radicando a = raiz 3 = índice 3 = expoente Observe que em uma raiz cúbica, o índice e o expoente devem ser representados pelo número 3. Calculamos a raiz cúbica de um número para encontrarmos qual o valor numérico que foi multiplicado três vezes por si mesmo. Para compreender melhor o que é a raiz cúbica de um número observe o exemplo a seguir: Observando o exemplo podemos constatar que para encontrarmos a raiz cúbica de um número devemo inicialmente fatorar esse número, em seguida colocar a fatoração obtida na fórmula para raiz cúbica e, no final, solucionar a raiz. Podemos também encontrar a raiz cúbica de um número por meio do cálculo mental, para fazer dessa forma basta pensar qual o número que elevado ao cubo resulta no valor do radicando. Veja: a) Qual o número que elevado ao cubo resulta em 8? Resposta: O número é 2, logo, a raiz cúbica de 8 é 2, ou seja, 2 é o número que multiplicado três vezes resulta em 8. Veja 2 . 2 . 2 = 8 b) Qual o número que elevado ao cubo resulta em 64? Resposta: O número é 4, logo, a raiz cúbica de 64 é 4, ou seja, 4 é o número que multiplicado três vezes resulta em 64. Veja 4 . 4 . 4 = 64. A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas. Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos. Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas? Radiciação é uma operação matemática sendo a inversa da potenciação.Representação de uma radiciaçãoPara representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação: √ → radical a→ radicando b→ raiz n→ índice Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional. Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número. Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja: estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando. Exemplos: Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar? Propriedades da radiciaçãoAs propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema. A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando. A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas. A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor. Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando. Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical. A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência. A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador: Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação? Simplificação de radicaisQuando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos. Exemplo: Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360. Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas. 360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180; 90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90; 45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45; 15|3 → 3 é o menor número primo que divide 15; 5|5 → 5 é o menor número primo que divide 5. 1| Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 200 como: 360= 2² · 2 · 3² · 5 Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical: Operações com radicaisA adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo: √2 + √3 ≠ √5 Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo: √2 + √2 = 2√2 Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas. Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação: √72 - √50 Sabemos que 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 72 = 2² · 2 · 3² e também podemos reescrever o 40 como: 50 = 2 · 5 · 5 50 = 2 · 5² Então teremos: Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação. Exemplo: Exercícios resolvidosQuestão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta: Resolução Alternativa B. Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito. a) → 2ª propriedade b) → Não é uma propriedade da radiciação. c) → 5ª propriedade d) → 1ª propriedade Questão 2 - (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é: Resolução Alternativa C. Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5². |