Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades. Show
→ Teorema fundamental da aritmética Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número. Exemplos: a) 192 = 25·3 b) 75 = 3·52 c) 300 = 2·3·52 → Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes: A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando. → Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração: Passo 1: Fatore o radicando Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética. Passo 2: Reagrupe os fatores primos Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Passo 3: Aplique a propriedade I Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada. Passo 4: Aplique a propriedade II Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele. Passo 5: Cálculo numérico Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados. Exemplo: Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592. Solução: Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592: 2592|2 1296|2 648|2 324|2 162|2 81|3 27|3 9|3 3|3 1| 2592 = 25·34 Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível: 2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2 Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte: Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19. Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima.
Cálculo da Raiz Quadrada. A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3). Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta. Raiz quadrada em Python
Como fazer raiz quadrada em programação?Todas as funções da biblioteca math....A biblioteca math. h.
Qual é o número inteiro que não tem raiz quadrada?Os números negativos são os números inteiros que não possuem raiz quadrada.Como descobrir a raiz cúbica de um número?Para se calcular a raiz cúbica de um número por fatoração, vamos fazer os seguintes passos:
Qual é a raiz cúbica de 8?Para calcular o valor equivalente a raiz cúbica de um número, devemos fatorá-lo e juntar os fatores primos de maneira a obter expoente 3. Assim: A partir disso, podemos concluir que a raiz cúbica de 8 é igual a 2.Como calcular a raiz quadrada de um número em linguagem C?Todas as funções da biblioteca math....A biblioteca math. h.
Como fazer a raiz de um número em C?b = (int)sqrt( a ); Entendendo: a função sqrt, contida se não me engano em math. h retorna um número ponto flutuante correspondente a raiz quadrada do número. Então "convertemos" esse número a um inteiro e atribuimos à variável 'b'.Como fazer fatoração de raiz?Para simplificar alguns radicais, basta reescrever o radicando como produto de fatores primos. Para tanto, fatore o radicando e observe o índice do radical. Supondo que esse índice seja 3, reagrupe os fatores primos encontrados em potências de expoente 3.Como fatorar a raiz de 1800?a raiz quadrada de 1800 vai dar 30√2. Fatorar um número é decompor o mesmo em números primos (aqueles que são divisíveis somente por 1 e por eles mesmo).. (2,3,5,7,11..) De nada!A radiciação é a operação inversa da potenciação. Em geral, utilizamos a simbologia abaixo para representá-la:
Apenas quando se tratar de raiz quadrada (índice 2) podemos deixar o espaço destinado ao índice em branco. O índice da fração indica quantas vezes é necessário multiplicar o número da potência por si mesmo até obter o valor do radicando. Por exemplo:
Ao lidar com radicandos maiores, podem surgir dúvidas, pois o valor da raiz não aparecerá tão facilmente. Para situações como essas, devemos utilizar o processo de fatoração para obter a raiz. Vale lembrar que na fatoração há um número que deve ser dividido pelo menor número primo possível sucessivas vezes até que o quociente seja um. Vejamos como encontrar a raiz quadrada de 729:
Nessa fatoração, começamos com o número do radicando, o 729, à esquerda. À direita, colocamos o menor primo que o dividirá. Novamente, à esquerda, coloca-se o número do quociente da divisão e repete-se esse processo até que o quociente seja 1. Como estamos procurando o resultado de uma raiz cujo índice é 2, agrupamos os números da direita em potências de expoente 2. Em seguida, colocamos essa multiplicação de potências dentro do radical, e aqueles números cujo o expoente é o mesmo do índice da raiz podem sair do radical sem o expoente. Vejamos outros exemplos:
Aqui você encontrará respostas para perguntas do tipo: Fatorar 18 ou Como decompor o número 18 em fatores primos?
Use nossa calculadora fatores primos abaixo para descobrir se qualquer número é primo ou composto e, neste caso, realizar a decomposição em fatores primos. Veja também nesta página uma tabela de fatores primos de 1 a 1000. Calculadora de Fatores Primos
O processo de fatoração é a decomposição de um número composto em um produto de fatores primos que, se multiplicados, recriam o número original. Fatores, por definição, são os números que se multiplicam para criar outro número. Um número primo é um número inteiro maior que um que é dividido apenas por 1 e por si mesmo. Por exemplo, os únicos divisores de 7 são 1 e 7, então 7 é um número primo, enquanto o número 72 tem divisores derivados de 23×32 como 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ... e o próprio 72, tornando 72 um número composto. Observe que os únicos fatores "primos" de 72 são 2 e 3, que são números primos. Exemplo de decomposição em fatores primosVamos realizar a fatoração de 72 passo-a-passo. Solução 1Começamos com o menor número primo que divide em 72, neste caso 2. Podemos escrever 72 como: 72 = 2 x 36 Agora procuramos o menor número primo que divide 36. Mais uma vez, podemos usar 2 e escrever 36 como 2 x 18, para dar. 72 = 2 x 2 x 18 18 também é divisível por 2 (18 = 2 x 9), então temos: 72 = 2 x 2 x 2 x 9 9 é divisível por 3 (9 = 3 x 3), então temos: 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 2, 2, 2, 3 e 3 são todos números primos, esta é a resposta. Em Resumo, nós podemos escrever o passo-a-passo assim: 72 = 2 x 36 72 = 2 x 2 x 18 72 = 2 x 2 x 2 x 9 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 72 = 2 3 x 3 2 (fatoração na forma exponencial) Solução 2Usando uma arvore de fatores. Passo-a-passo:
Veja como fazer a arvore de fatores de 72:
Outro exemplo de decomposição em fatores primosVeja como fatorar o número 588:
O professor Marcos Aba ensina a fazer a Decomposição de qualquer número em fatores primos e, faz breve explicação sobre os números primos.
A professora Professora Ana Paula Lopes ensina como usar a técnica da árvore de fatores para encontrar os fatores primos de um número natural. Tabela de fatores primos de 1 a 1000
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