Como colocar raiz quadrada de 3 no plano cartesiano

No colégio, principalmente durante o ensino fundamental, é comum que os jovens aprendam a raiz quadrada. Considerada muito complicada por muitos e fácil por outros, ela é utilizada sempre nas contas matemáticas.

A raiz quadrada de um número é sempre um número real e positivo, que se eleva ao quadrado. Enquanto na raiz cúbica, ele é elevado ao cubo. No caso de ela ser elevada à quarta potência, será chamada de raiz quarta, assim como raiz quinta, e respectivamente.

Como fazer?

Na hora de calcular uma raiz quadrada, você precisa pensar que um número, quando elevado ao quadrado, é o resultado – por isso é tão importante conhecer a tabuada e as contas.

Porém, há casos em que os números poderão complicar, isso porque são grandes demais. Nesse caso, é indicado usar o processo de fatoração, decompondo por números primos. Por exemplo, veja a raiz quadrada de 2704, abaixo:

O ato da potencialização é necessário, uma vez que depois de fatorado, como o caso da raiz quadrada, você reunirá os números primos a cada potência de dois, ou seja, dividirá esses números entre quadrados perfeitos.

Conforme o exemplo acima, você terá:

Ao final, 52 é a raiz quadrada de 2704.

Ao decompor o número em fatores primos, você poderá ter dois tipos de raiz quadrada:

• Raiz quadrada exata: em casos de um número inteiro fatorado, sendo o quadrado perfeito, resultando em outro número inteiro, por exemplo, a raiz quadrada de 4 é 2;
• Raiz quadrada não exata: em casos em que o número inteiro, fatorado, não é considerado um quadrado perfeito, gerando um novo número decimal ou uma raiz quadrada que não é perfeita, como o caso √147 = 7√3.

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é fundamental para compreendermos várias outras fórmulas da geometria analítica, a área da Matemática que analisa objetos geométricos no plano cartesiano, possibilitando estudar e desenvolver equações para tratar de forma algébrica os elementos geométricos.

Conhecemos como distância entre dois pontos A e B o comprimento do segmento de reta que liga esses dois pontos. Para calcular o comprimento desse segmento de reta, utilizamos uma fórmula deduzida do teorema de Pitágoras. Dados os pontos A(xA, yA) e B (xB, Yb), para calcular a distância entre esses dois pontos, utilizamos a fórmula dAB² = (xB – xA)² + (yB – yA)².

Leia também: Qual é a equação geral da circunferência?

Resumo sobre a distância entre dois pontos

• A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento que liga esses dois pontos.

• Utilizamos a distância entre dois pontos para desenvolver fórmulas e compreender melhor alguns elementos da geometria analítica.

• A fórmula para calcular a distância entre dois pontos é:

Videoaula sobre a distância entre dois pontos

O que é a distância entre dois pontos?

Quando representamos dois pontos no plano cartesiano, chamamos de distância entre os dois pontos o comprimento do segmento que une esses dois pontos. Vejamos no plano cartesiano a seguir a representação do segmento que liga o ponto A e B:

Para representar a distância entre os pontos A e B, utilizamos a notação dAB.

Para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano, utilizamos o teorema de Pitágoras. Dados os pontos A(xA, xB) e B(xB, yB), é possível construir um triângulo retângulo cuja hipotenusa seja exatamente o segmento AB.

Note que o triângulo representado no plano cartesiano é retângulo e possui catetos medindo (xB – xA) e (yB – yA). Além disso, a sua hipotenusa é o segmento AB, que a medida é dada pela distância entre os dois pontos, ou seja, dAB. Então, para calcular a distância do ponto A até o ponto B, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para deduzir a fórmula da distância entre dois pontos a seguir:

Veja também: Como encontrar o baricentro de um triângulo?

Cálculo da distância entre dois pontos

Para calcular a distância entre dois pontos, basta conhecermos as coordenadas de cada um dos pontos e substituir na fórmula.

Exemplo 1:

Calcule a distância entre os pontos A( 3,5) e B(6,1).

Substituindo os valores das coordenadas na fórmula:

Exemplo 2:

A distância entre o ponto C (2, y) e o ponto D (4,5) é igual a 3√3, então o valor de y é?

Sabemos que dCD = 2√17, então temos que:

dCD = √29

dCD ² = √29²

dCD ² = 29

dCD² = (xD – xc)² + (yD – yc)² = 29

(4 – 2)² + (5 – y)² = 29

2² + 25 – 10y + y² = 29

4+ 25 – 10y + y² =29

29 – 10y + y²= 29

y² – 10y = 29 – 29

y² – 10y = 0

y( y – 10) = 0

y = 0

ou

y– 10 = 0

y= 10

Então, as soluções possíveis são y = 10 ou y = 0.

Leia também: Área de um quadrilátero na geometria analítica

Exercícios resolvidos sobre a distância entre dois pontos

Questão 1 — Para mapear a cidade, os principais locais foram representados no plano cartesiano a seguir:

Analisando a imagem, a distância entre o banco e a igreja é de:

Resolução

Alternativa B.

Primeiro identificaremos as coordenadas do banco B( – 3, 2) e da igreja I(3, – 2).

Agora, substituindo na fórmula de distância entre dois pontos, temos que:

Questão 2 - (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2,y) e B (6,7) é 10. O valor de y é:

A) -1 B) 0 C) 1 ou 13 D) -1 ou 10

E) 2 ou 12

Resolução

Alternativa C.

Como a distância do ponta A até o ponto B é 10, então:

dAB² = (xB – xA)² + (yB – yA)²

Sabemos que dAB = 10 e podemos substituir também os valores das coordenadas dos pontos que já são conhecidos, logo:

10² = (6 – (–2) )² + (7 – y)²

100 = (6+2)² + 49 – 14y + y²

100 = 8² + 49 – 14y + y²

100 = 64 + 49 – 14y + y²

100 = 113 – 14y + y²

0 = – 100 + 113 – 14y + y²

0 = 13 – 14y + y²

Encontramos uma equação do 2º grau, logo calcularemos delta:

y² – 14y + 13 = 0

a = 1

b = – 14

c = 13

Δ = b² – 4ac

Δ = ( – 14) ² – 4 · 1 · 13

Δ = 196 – 52

Δ = 144

Agora utilizando a fórmula de Bhaskara:

A função raiz é identificada quando na lei de formação da função a variável se encontra dentro de um radical. A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz. Como a maioria dos valores da imagem de uma raiz é um número irracional, a função raiz é considerada uma função irracional.

O conjunto do domínio da função possui restrição quando o índice da função for par, pois o radicando necessariamente tem que ser positivo para que exista raiz. No estudo das funções, é sempre possível realizar sua representação gráfica.

Veja também: Função polinomial — função em que a lei de formação pode ser descrita por um polinômio

Resumo sobre função raiz

• A função raiz possui em sua lei de formação uma variável dentro do radical.

• É preciso analisar o índice do radical da raiz para encontrar seu domínio.

• Quando a função raiz possui índice par, o seu radicando é necessariamente positivo.

• Não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.

• A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz, sendo a primeira a mais comum.

Função raiz: o que é?

Quando uma função possui uma ou mais variáveis dentro de um radical, a chamamos de função raiz. Ela sempre terá uma raiz de índice n, sendo que a função raiz mais comum é a função raiz quadrada. Veja a lei de formação de algumas funções raiz a seguir:

➝ Lei de formação de algumas funções raiz

• \(f\left(x\right)=\sqrt x\)

• \(g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2}\)

• \(h\left(x\right)=1+\sqrt[3]{x-2}\)

• \(i\left(x\right)=\sqrt[4]{\frac{x}{3}}\)

Para calcular o valor numérico de uma função raiz, basta realizarmos a substituição da sua variável pelo valor desejado. Vale ressaltar que em muitos casos, o valor numérico de uma função raiz é um número irracional.

➝ Exemplos de cálculo da função raiz

Dada a função \(f\left(x\right)=\sqrt{x-4}\), calcule:

a) \(f\left(13\right)\)

b) \(f\left(7\right)\)

Resolução:

a) \(f\left(13\right)\)

Quando x = 13, temos:

\(f\left(13\right)=\sqrt{13-4}=\sqrt9=3\)

b) \(f\left(7\right)\)

Quando x = 7, temos:

\(f\left(7\right)=\sqrt{7-4}=\sqrt3\)

Como a \(\sqrt3\) é um número irracional, podemos afirmar que \(f\left(7\right)=\sqrt3\). Caso seja necessário calcular a raiz quadrada, utilizamos uma aproximação para essa raiz, como 1,7.

Dada a função \(g\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2x\), calcule \(g\left(8\right)\).

Resolução:

\(g\left(8\right)=\sqrt[3]{8}+2\cdot8\)

\(g\left(8\right)=2+16\)

\(g\left(8\right)=18\)

Domínio de uma função raiz

No estudo de uma função raiz, conhecendo a sua lei de formação, é importante compreender que nem sempre o domínio de uma função é o conjunto dos números reais, pois existe uma restrição na radiciação quando o índice da função é par. Sabemos que não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.

Considere a função a seguir:

\(f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}\)

Qual é o conjunto domínio dessa função quando a analisamos no conjunto dos números reais?

Resolução:

Para que exista imagem para um determinado valor de x, temos:

\(3x\ +\ 4\ \geq\ 0\ \)

\(3x\ \geq\ -\ 4\ \)

\(x\geq-\frac{4}{3}\)

Assim, o domínio dessa função é:

\({\ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -\frac{4}{3}}\)

Saiba também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função — qual a diferença?

Gráfico da função raiz

O gráfico da função raiz é sempre crescente.

Quando a função raiz possui um índice par, seu gráfico estará somente no 1º quadrante:

Quando a função possui índice ímpar, o gráfico da função raiz estará tanto no 1º quanto no 3º quadrante.

Leia também: Como é o gráfico de uma função exponencial?

Exercícios resolvidos sobre função raiz

Questão 1

Analisando a função \(\ f:\ A\ \rightarrow B\ \), com lei de formação \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-4}\), julgue as afirmativas a seguir:

I) O domínio dessa função é necessariamente os valores de x, tal que \(x\geq\ 4\).

II) \(f\left(-4\right)=-2\)

III) Essa função é uma função raiz.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é falsa.

B) Somente a afirmativa II é falsa.

C) Somente a afirmativa III é falsa.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa A

I) Falsa

Como o índice da raiz é igual a 3, um número ímpar, o domínio dessa função pode ser o conjunto dos números reais, não havendo uma restrição para o valor de x.

II) Verdadeira

Calculando \(f\left(-4\right)\), temos:

\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-4-4}\)

\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-8}\)

\(f\left(-4\right)=-2\)

III) Verdadeira

Como a variável está dentro do radical, essa função é de fato uma função raiz.

Questão 2

Analisando a função \(f\left(x\right)=\sqrt{2x+6}\) no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:

A) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 2}\)

B) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -6}\)

C) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -3}\)

D) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 4}\)

Resolução:

Alternativa C

Analisando a lei de formação, temos:

\(2x\ +\ 6\ \geq\ 0\)

\(2x\ \geq\ -6\)

\(x\geq\frac{-6}{2}\)

\(x\ \geq\ -3\ \)

Portanto:

\(D\ =\ x\ \in\ R\ |\ x\ \geq\ -3\)