Sistema de equações com duas incógnitas exercícios resolvidos pdf

Os Sistemas de equações do 1º grau são constituídos por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita.

Resolver um sistema é encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas essas equações.

Muitos problemas são resolvidos através de sistemas de equações. Portanto, é importante conhecer os métodos de resolução para esse tipo de cálculo.

Aproveite os exercícios resolvidos para tirar todas as suas dúvidas em relação a este tema.

Questões Comentadas e Resolvidas

1) Aprendizes de Marinheiro - 2017

A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy é igual a:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

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Vamos começar montando as equações considerando a situação proposta no problema. Desta forma, temos:

x + 2.y = - 7 e 3.x - y = 7

Os valores de x e y devem satisfazer ao mesmo tempo as duas equações. Portanto, formam o seguinte sistema de equações:

Podemos resolver esse sistema pelo método da adição. Para tal, vamos multiplicar a segunda equação por 2:

Somando as duas equações:

Substituindo na primeira equação o valor de x encontrado, temos:

1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1

Assim, o produto xy será igual a:

x.y = 1 . (- 4) = - 4

Alternativa: d) - 4

2) Colégio Militar/RJ - 2014

Um trem viaja de uma cidade a outra sempre com velocidade constante. Quando a viagem é feita com 16 km/h a mais na velocidade, o tempo gasto diminui em duas horas e meia, e quando á feita com 5 km/h a menos na velocidade, o tempo gasto aumenta em uma hora. Qual é a distância entre estas cidades?

a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

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Sendo a velocidade constante, podemos usar a seguinte fórmula:

Então, a distância é encontrada fazendo-se:

d = v.t

Para a primeira situação temos:

v1 = v + 16 e t1 = t - 2,5

Substituindo esses valores na fórmula da distância:

d = (v + 16) . (t - 2,5)
d = v.t - 2,5v + 16t - 40

Podemos substituir v.t por d na equação e simplificar:

-2,5v +16t = 40

Para a situação em que a velocidade diminui:

v2 = v - 5 e t2 = t + 1

Fazendo a mesma substituição:

d = (v -5) . (t +1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

Com essas duas equações, podemos montar o seguinte sistema:

Resolvendo o sistema pelo método da substituição, vamos isolar o v na segunda equação:

v = 5 + 5t

Substituindo esse valor na primeira equação:

-2,5 (5 + 5t) + 16 t = 40
-12,5 - 12,5t + 16 t = 40
3,5t =40 + 12,5
3,5t = 52,5

Vamos substituir este valor para encontrar a velocidade:

v = 5 + 5 . 15
v = 5 + 75 = 80 km/h

Para encontrar a distância, basta multiplicar os valores encontrados da velocidade e do tempo. Assim:

d = 80 . 15 = 1200 km

Alternativa: a) 1 200 km

3) Aprendizes de Marinheiro - 2016

Um estudante pagou um lanche de 8 reais em moedas de 50 centavos e 1 real. Sabendo que, para este pagamento, o estudante utilizou 12 moedas, determine, respectivamente, as quantidades de moedas de 50 centavos e de um real que foram utilizadas no pagamento do lanche e assinale a opção correta.

a) 5 e 7
b) 4 e 8
c) 6 e 6
d) 7 e 5
e) 8 e 4

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Considerando x o número de moedas de 50 centavos, y o número de moedas de 1 real e o valor pago igual a 8 reais, podemos escrever a seguinte equação:

0,5x + 1y = 8

Sabemos ainda que foram utilizadas 12 moedas no pagamento, então:

x + y = 12

Montando e resolvendo o sistema por adição:

Substituindo o valor encontrado de x na primeira equação:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternativa: e) 8 e 4

4) Colégio Pedro II - 2014

De uma caixa contendo B bolas brancas e P bolas pretas, retiraram-se 15 bolas brancas, permanecendo entre as bolas restantes a relação de 1 branca para 2 pretas. Em seguida, retiraram-se 10 pretas, restando, na caixa, um número de bolas na razão de 4 brancas para 3 pretas. Um sistema de equações que permite determinar os valores de B e P pode ser representado por:

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Considerando a primeira situação indicada no problema, temos a seguinte proporção:

Multiplicando "em cruz" essa proporção, temos:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Vamos fazer o mesmo para a situação seguinte:

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

Juntando essas equações em um sistema, encontramos a resposta do problema.

Alternativa: a)

5) Faetec - 2012

Carlos resolveu, em um final de semana, 36 exercícios de matemática a mais que Nilton. Sabendo que o total de exercícios resolvidos por ambos foi 90, o número de exercícios que Carlos resolveu é igual a:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

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Considerando x como o número de exercícios resolvidos por Carlos e y o número de exercícios resolvidos por Nilton, podemos montar o seguinte sistema:

Substituindo x por y + 36 na segunda equação, temos:

y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36

Substituindo esse valor na primeira equação:

x = 27 + 36
x = 63

Alternativa: a) 63

6) Enem/PPL - 2015

Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros, e, ao final, recebeu R$ 100,00. Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

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Sendo x o número de tiros que acertou o alvo e y o número de tiros errados, temos o seguinte sistema:

Podemos resolver esse sistema pelo método da adição, iremos multiplicar todos os termos da segunda equação por 10 e somar as duas equações:

Portanto, o participante acertou 30 vezes o alvo.

Alternativa: a) 30

7) Enem - 2000

Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

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O problema indica que o número de carros roubados da marca x e y juntas equivale a 60% do total, então:

150.0,6 = 90

Considerando esse valor, podemos escrever o seguinte sistema:

Substituindo o valor de x na segunda equação, temos:

2y + y = 90
3y = 90

Alternativa: b) 30

Veja também:

• Escalonamento de Sistemas Lineares
• Exercícios sobre equação do 1º Grau com uma incógnita
• Exercícios de Matemática 8º ano

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Como resolver sistema de 2 equações com 2 incógnitas?

Como resolver sistemas de equações de 1 grau?