Um paralelepípedo é um sólido geométrico tridimensional que faz parte do conjunto dos prismas. Sendo assim, para que um prisma seja considerado um paralelepípedo, é necessário que suas bases sejam paralelogramos (polígono de quatro faces). Dessa forma, eles são sólidos geométricos formados por um conjunto de seguimentos de reta, paralelos a uma reta, onde suas extremidades ficam em um paralelogramo e em um plano paralelo. Assim, paralelepídedos são prismas cuja base é um paralelogramo, além de ser um hexaedro com faces paralelas e em formato de paralelogramo. Portanto, hoje vamos entender o que é um paralelepípedo e conhecer suas fórmulas geométricas. Confira. Elementos do paralelepípedoPrimeiramente, um paralelepípedo é formado por faces, vértices e arestas, como várias outras formas geométricas. Portanto, ele conta com:
Observe o exemplo abaixo:
ClassificaçãoSendo assim, eles são classificados conforme a perpendicularidade de suas arestas em ralação a base. Portanto, temos dois tipos de paralelepípedos, sendo eles:
PlanificaçãoComo visto anteriormente, um paralelepípedo é um sólido geométrico. Em outras palavras, uma figura com três dimensões: altura, largura e comprimento. Sendo assim, todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras planas, como veremos na imagem abaixo que exemplifica a planificação de um paralelepípedo reto:
Contudo, embora na imagem as bases e faces sejam formadas por retângulos, também podem ter paralelepípedos formados por bases quadradas. Fórmulas do paralelepípedoUm paralelepípedo é calculado de acordo com a sua área, volume e diagonal, como veremos nas fórmulas abaixo: Área da BaseComo a base é formada por uma figura geométrica plana, para calcular sua área, é necessário multiplicar a base pela altura da figura. Sendo assim, temos a seguinte fórmula:
Ab = b . h Onde:
Área LateralJá o cálculo da área lateral deve ser feito baseado nas quatro faces laterais que formam pares. Então, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
Área TotalContudo, para calcular a área total é preciso observar a figura planificada do paralelepípedo. Assim, a área total é a soma dos pares das faces opostas. Desse modo, temos a seguinte fórmula: At = 2(ab + ac + bc) Onde:
Volume do ParalelepípedoPara calcular o volume de um paralelepípedo é preciso seguir o mesmo processo do volume do cubo. Ou seja, calcular o produto do comprimento, da largura e da altura. Vejamos a fórmula do cálculo: V = a . b . c Onde:
Portanto, é equivalente dizer que o volume é a medida da área da base pela altura.
Diagonal do ParalelepípedoSeja ABCDEFGH um paralelepípedo retângulo qualquer. Então, considere que x é a medida de seu comprimento, y é a medida de sua largura e z é a medida de sua altura, assim como na figura abaixo:
Desse modo, a diagonal do paralelepípedo pode ser encontrada por meio da fórmula:
d2 = x2 + y2 + z2 d = √(x2 + y2 + z2) ExercíciosPor fim, agora que já vimos o que é um paralelepípedo, suas classificações, e fórmulas, vamos a alguns exercícios: Exercício 1(Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Portanto, analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a: a) 5 cm b) 6 cm c) 12 cm
d) 24 cm e) 25 cm Resposta: Letra B Para encontrar o volume da barra de chocolate aplica-se a fórmula do volume do paralelepípedo, ou seja:
V = a.b.cV = 3.18.4V = 216 cm3 Já o volume do cubo é calculado pela fórmula: V = a3 , onde “a” corresponde as arestas da figura, assim sendo: a3 = 216a = 3√216a = 6cm Exercício 2Considere uma caixa de água com formato de um paralelepípedo reto retângulo totalmente cheia, com comprimento de 7 m e largura de 4 m e altura de 2 m. Sendo assim, calcule:
a) A área da base b) A área lateral c) A área total d) O volume de água da caixa
Resposta: a) A área da base desta caixa é calculada pela fórmula do retângulo, pois a base da caixa é retangular: Ab= b . h = 7 x 4 = 28 m² b) A área da lateral de um paralelepípedo é calculada pela fórmula: Al= 2(ac + bc). Sendo assim, fica: (7 x 2) + (4 x 2) = 14 + 8 = 22 m² c) A área total do paralelepípedo é: At= 2(ab + ac + bc) = (7 x 4) + (7 x 2) + (4 x 2) = 28 + 14 + 8 = 50 m²
d) O volume de um paralelepípedo é: V = a . b . c = 7 x 4 x 2 = 56 m³ Enfim, agora que você já aprendeu muito sobre o assunto, que tal conhecer mais sobre o cilindro? Fontes: Matemática Básica, Toda Matéria, Brasil Escola Fonte Imagem Destaque: O Globo Exemplos de prismas quadrangulares que possuem paralelogramos como bases Classificação dos paralelepípedos Os paralelepípedos são classificados com relação aos ângulos em sua base e em suas faces laterais:
Observe que todas as faces de um paralelepípedo retângulo são retângulos, assim, qualquer ângulo encontrado entre duas arestas é reto.
Propriedades das faces e arestas de um paralelepípedo
As arestas EF, HG e DC são opostas à aresta AB. A partir dessa propriedade, podemos concluir que essas quatro arestas são, duas a duas, paralelas entre si. Diagonal do paralelepípedo Seja a figura a seguir um paralelepípedo e AG uma de suas diagonais. Considere os comprimentos a, b e c, dados na figura como comprimento, largura e altura do prisma. Nessas condições, a diagonal do paralelepípedo é calculada pela seguinte expressão: d = √(a2 + b2 + c2) Se esse prisma for um cubo, todas as suas arestas terão medidas iguais. Seja essa medida x, a diagonal do cubo pode ser calculada por: d = √(a2 + b2 + c2) d = √(x2 + x2 + x2) d = √(3x2) d = x√3 Exemplo: Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo que possui 15 m de comprimento, 3 m de largura e 10 m de altura. Solução: d = √(a2 + b2 + c2) d = √(152 + 32 + 102) d = √(225 + 9 + 100) d = √(334) d = 18,27 m, aproximadamente. |