Na figura a seguir são representados os raios solares incidindo nos pontos peq

Ângulos e Paralelismo Ângulos Definição Ângulo é a união de duas semirretas que têm a mesma origem. Notação Algébrica: ˆAOB ou  . Notação Geométrica:  OA e OB  São os lados do ângulo.  O  É o vértice do ângulo Sistemas de Medida de Ângulo Sistema Sexagesimal (Graus)  Os babilônios dividiram uma circunferência em 360 partes iguais. O grau é a unidade que (1º) corresponde a 1 360 dessa circunferência.  O grau admite dois submúltiplos: o minuto e o segundo.  Ângulo de um minuto (1’) é o ângulo cuja medida é 1 60 de 1º.  Ângulo de um segundo (1”) é o ângulo cuja medida é 1 60 de 1’. Sistema Radianos A medida de um ângulo no sistema radianos é a razão entre o comprimento do arco que este ângulo determina sobre qualquer circunferência de centro no vértice do ângulo e a medida do raio da referida circunferência. Ângulos Notáveis Ângulo Reto É o ângulo cuja medida é igual a 90º. Ângulo Raso Também conhecido como ân–gulo de meia–volta, é o ângulo cuja medida é igual a 180º. Ângulo de volta Inteira É o ângulo cuja medida é igual a 360º. Ângulo Agudo         É aquele cuja medida é maior que 0º e menor que 90º. Ângulo Obtuso É aquele cuja medida é maior 90º e menor que 180º. Classificação Ângulos Complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º, ou seja, um deles é o complemento do outro. Ângulos Suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º, ou seja, um deles é o suplemento do outro. Ângulos Replementares Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é 360º, ou seja, um deles é o replemento do outro. Ângulos Consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo vértice e um lado comum. São consecutivos os pares de ângulos: ˆ ˆ AOB e BOC ˆ ˆ AOB e BOC ˆ ˆ AOB e BOC    Ângulos Adjacentes Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não têm ponto interno comum. São adjacente os pares de ângulos: ˆ ˆAOB e BOC Bissetriz Bissetriz de um ângulo é uma semirreta que parte de seu vértice a o divide em outros dois ângulos de mesma medida.         Ângulos Opostos Pelo Vértice (OPV) Ângulos Opostos Pelo Vértice, são aqueles cujos lados de um são semirretas opostas dos lados do outro. Nesse caso, os Ângulo OPV são congruentes, ou seja, são ângulo de mesma medida. PARALELISMO Retas Paralelas São retas coplanares (retas que podem ser colocadas em um mesmo plano) que não possuem pontos em comum. (símbolo: //). Retas Paralelas Interceptadas por uma Transversal Correspondentes:     a e a b e b c e c d e d             Alternos:     c e c Internos : d e d a e a Externos : b e b               Colaterais: c e c + =180º Internos : d e d + =180 a e a + = 180º Externos : b e b + =180º              EXERCÍCIOS DE AULA 01. (OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mos- tra a figura. A medida do ângulo x é: a) 39º. b) 41º. c) 43º. d) 44º. e) 46º. 02. (Enem) Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas.         A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A. Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas a) 3 e C. b) 4 e C. c) 4 e D. d) 4 e E. e) 5 e C. 03. (Enem) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília–DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4. Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília– DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em: a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. 04. (UFAL) Considere que: Os raios de Sol incidem paralelamente sobre a Terra. O planeta Terra é uma esfera cuja linha do Equador tem 40.000 km de perímetro. Na figura abaixo são representados os raios solares incidindo nos pontos P e Q da linha do Equador do planeta Terra e são indicadas as medidas dos ângulos que esses raios formam com as normais à superfície terrestre nesses pontos.         O comprimento do arco PQ , que corresponde à menor distância de P a Q, em quilômetros, é igual a: a) 11 000. b) 10 880. c) 10 666. d) 10 444. e) 9 000. EXERCÍCIOS-TAREFA 01. (ESPM-SP) A figura abaixo representa uma parte de um bairro, onde os segmentos são as ruas e os pontos são as esquinas. Como só podemos caminhar pelas ruas, a distância entre os pontos A e B é de 6 quarteirões. O número de esquinas assinaladas no mapa, que são equidistantes de A e B é igual a: a) 5 b) 6 c) 9 d) 8 e) 7 02. (UEL-PR) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente. O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a: a) 144º. b) 128º. c) 116º. d) 82º. e) 54º. 03. (Mackenzie-SP) O complemento e o suplemento de um ângulo de 37º20’07’’ medem, respectivamente: a) 142º39’53” e 52º39’53”. b) 52º39’53” e 142º39’53”. c) 53º20’07” e 153º20’07”. e) 153º20’07” e 53º20’07”. e) 142º39’53” e 53º20’07”. 04. (UFU-MG) Dois ângulos consecutivos são complementares. Então, o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos mede: a) 20º. b) 30º. c) 35º. d) 40º. e) 45º. 05. A balestilha é um instrumento astronômico utilizado na época das Grandes Navegações para medir a altura de um astro ou a distância angular entre dois astros. Ela é constituída por uma régua graduada,         de madeira de secção quadrada, o nome de virote, e onde encaixa outra régua, a soalha (veja a figura). Encontre o ângulo de observação, onde a distância do observador até os astros seja 2 000 𝑘𝑚 e a medida do arco entre os astros é de 1 200 𝑘𝑚. a) 0,30 rad. b) 0,45 rad. c) 0,60 rad. d) 1,2 rad. e) 2 rad. 06. (Unicamp-SP-adaptada) Para calcular a circunferência terrestre, o sábio Erastóstenes valeu-se da distância conhecida de 800  km entre as localidades de Alexandria e Siena, no Egito (A e S, respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles fa- ziam um ângulo