A equação da reta pode ser determinada representando-a no plano cartesiano (x,y). Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos pertencentes a reta podemos determinar sua equação. Show Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um ponto que lhe pertença. Equação geral da retaDois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta. Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano. Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz: Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação: (ya - yb) x + (xb - xa) y + xayb - xbya = 0 Vamos chamar: a = (ya - yb) A equação geral da reta é definida como: ax + by + c = 0 Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos. Exemplo Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1). Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta. Desenvolvendo o determinante, encontramos: (8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0 A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é: 9x - 4y + 41 = 0 Para saber mais, leia também:
Equação reduzida da retaCoeficiente angularPodemos encontrar uma equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x. Para isso associamos um número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, tal que: m = tg θ O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se dois pontos pertencentes a reta. Como m = tg θ, então: Exemplo Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3). Sendo, x1 = 1 e y1 = 4 Conhecendo o coeficiente angular da reta m e um ponto P0(x0,y0) pertencente a ela, podemos definir sua equação. Para isso vamos substituir na fórmula do coeficiente angular o ponto conhecido P0 e um ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta: Exemplo Determine uma equação da reta que passa pelo ponto A(2,4) e tem coeficiente angular 3. Para encontrar a equação da reta basta substituir os valores dados: y - 4 = 3 (x - 2) y - 4 = 3x - 6 -3x + y + 2 = 0 O coeficiente linear n da reta r é definido como o ponto em que a reta intercepta o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n). Utilizando esse ponto, temos: y - n = m (x - 0) y = mx + n (Equação reduzida da reta). Exemplo Sabendo que a equação da reta r é dada por y = x + 5, identifique seu coeficiente angular, sua inclinação e o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Como temos a equação reduzida da reta, então: m = 1 Sendo m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º O ponto de interseção da reta com o eixo y é o ponto P(0,n), sendo n=5, então o ponto será P(0,5) Leia também Cálculo do coeficiente angular Equação segmentária da retaPodemos calcular o coeficiente angular usando o ponto A(a,0) que a reta intercepta o eixo x e o ponto B(0,b) que intercepta o eixo y: Considerando n = b e substituindo na forma reduzida, temos: Dividindo todos os membros por ab, encontramos a equação segmentária da reta: Exemplo Escreva na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(5,0) e tem coeficiente angular 2. Primeiro vamos encontrar o ponto B(0,b), substituindo na expressão do coeficiente angular: Substituindo os valores na equação, temos a equação segmentária da reta: Leia também sobre: Exercícios Resolvidos1) Dada a reta que tem a equação 2x + 4y = 9 , determine seu coeficiente angular. 4y = - 2x + 9 y = - 2/4 x + 9/4 y = - 1/2 x + 9/4 Logo m = - 1/2 2) Escreva a equação da reta 3x + 9y - 36 = 0 na forma reduzida. 3) ENEM - 2016 Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá a) diminuir em 2 unidades. b) diminuir em 4 unidades. c) aumentar em 2 unidades. d) aumentar em 4 unidades. e) aumentar em 8 unidades.
Primeiro devemos encontrar o valor inicial do coeficiente angular da reta B. Lembrando que m= tg Ɵ, temos: m1 = 12/6 = 2 Para passar pelo ponto de altura máxima da trajetória de A, o coeficiente angular da reta B terá que ter o seguinte valor:m2 = 16/4 = 4 Assim o coeficiente angular da reta B terá que passar de 2 para 4, logo aumentará 2 unidades. Alternativa c: aumentar 2 unidades Veja também: Exercícios sobre Geometria Analítica |