De acordo com a figura, podemos concluir que o valor de x para o qual 3 x 4

A função exponencial é utilizada para descrever e modelar o comportamento de várias situações no nosso dia a dia. Podemos observá-la, por exemplo, na matemática financeira, em situações que envolvem juros compostos, em reprodução de cultura de bactérias, e até mesmo o comportamento de novos casos da covid-19, durante a pandemia em 2020, aproxima-se muito de um comportamento exponencial.

A lei de formação da função exponencial é f(x) = ax, podendo gerar um gráfico crescente ou decrescente, dependo do valor da base “a”. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica.

Leia também: Quais são as diferenças entre função e equação?

Definição da função exponencial

Definimos como função exponencial uma função f: ℝ → ℝ*+, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais, e seu contradomínio é o conjunto dos números reais positivos diferentes de 0. Além disso, a sua lei de formação pode ser descrita por f (x) = ax, em que ‘a’ é a base, cujo valor sempre será um número real positivo.

Exemplos:

f(x) = 2x

f(x) = 0,3x

Podemos observar que f(x) é a variável dependente, podendo ser representada por y também, e x é a variável independente.

Podemos dividir a função exponencial em dois casos: crescente ou decrescente.

O gráfico da função f(x) = ax é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.

A função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando 0<a<1. Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de x menor será o valor de y.

Veja também: Tipos de gráficos – quando usar cada um?

Gráfico da função exponencial

Para traçar o gráfico de uma função exponencial, é necessário encontrar o valor numérico para alguns valores de x. Existem duas possibilidades para o comportamento do gráfico, ele pode ser crescente ou decrescente, como vimos anteriormente. Quando o gráfico é crescente, a função exponencial é caracterizada por possuir um crescimento muito rápido em comparação, por exemplo, com a função afim.

Podemos observar que o gráfico não passa pelo 3º e 4º quadrante do plano cartesiano, pois o contradomínio será, como vimos na definição, os reais positivos e maiores que 0. Por mais próximo que o gráfico chegue do eixo x, ele não o tocará, não há valor algum no domínio que faça com que ax seja igual a 0, lembrando que, por definição, a base é sempre maior do que 0.

Exemplos:

Construa os gráficos das funções:

a) f(x) = 3x

Como a >1, então essa função é crescente. Para construir o gráfico, vamos construir a tabela com alguns valores numéricos da função.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano gráfico da função:

Nesse caso, a base é menor que 1, ou seja, 0<a<1, logo o gráfico será decrescente. O fato de ele ser decrescente não altera o método que utilizaremos para construí-lo, assim como foi feito no outro, encontraremos alguns valores numéricos.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função:

Para saber mais informações sobre a construção dos gráficos desse tipo de função, acesse: gráfico da função exponencial.

Propriedades da função exponencial

Em uma função exponencial, f(0) = 1. Essa propriedade não passa de uma consequência das propriedades de potência, já que a base de todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1.

f(0) = a0=1

A função exponencial é injetiva. Isso significa que, para valores diferentes de x, a imagem também será diferente, ou seja, f(x1) ≠ f(x2) com x1 ≠ x2. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y.

Como vimos em um tópico anterior, o gráfico da função exponencial pode ser crescente, se a base for maior que 1 (a >1), e decrescente, caso a base seja um número menor que 1 e maior que 0 (0<a<1).

O gráfico da função exponencial nunca corta o eixo x. Por menor que seja o valor da imagem, ele nunca chegará a ser 0. Dizemos que ele tende a 0, mas não existe valor de x que faça com que f(x) = 0.

Conheça mais detalhes sobre essas propriedades, acessando o texto: propriedades da função exponencial.

Função exponencial e função logarítmica

A comparação entre essas duas funções é bastante comum, já que a função logarítmica possui como função inversa a função exponencial. Isso significa que os gráficos das duas são simétricos em relação à bissetriz do eixo x.

Exemplo:

Encontre a função inversa f (x)-1 da função exponencial de lei de formação f(x) = 5x.

Para encontrar a função inversa, trocamos x e y de lugar.

x = 5y

Agora vamos isolar o y novamente, mas para isso aplicaremos log na base 5 dos dois lados.

log5x = log55y
log5x = ylog55
log5x= y

Então, a função inversa será:

f(x)-1 = log5x

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um biólogo está estudando uma cultura de bactérias que se reproduzem de formal exponencial. A lei de formação que descreve a reprodução dessas bactérias é f(t) = Qi · 3t , em que Qi é a quantidade inicial de bactérias e t é o tempo dado horas. Sabendo que havia 200 bactérias em uma amostra, qual será a quantidade de tempo necessária para que essa cultura tenha o total de 16.200 bactérias?

a) 2 horas

b) 3 horas

c) 4 horas

d) 5 horas

e) 6 horas

Resolução

Alternativa C

Sabemos que f(t) = 16 200 e que Qi=200, realizando a substituição desses termos, vamos encontrar o valor de t.

Questão 2 - (ENEM – 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800·(1,03)t. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais:

a) 7416,00

b) 3819,24

c) 3709,62

d) 3708,00

e) 1909,62

Resolução

Alternativa E

Sabemos que t = 2, realizando a substituição.

s(t) = 1800·(1,03)t

s(2) = 1800·(1,03)²

s(2) = 1800· 1,0609

s(2) = 1909,62

A função exponencial é aquela em que a variável é um expoente. Matematicamente, ela é definida como f de R em R, tal que f(x) = ax, em que a ϵ R, a > 0 e a ≠ 1. O gráfico dessa função é uma curva obtida ao encontrar alguns pares ordenados que pertencem à função e ao desenhar essa curva que passa por eles. A observação de alguns gráficos dessas funções permite deduzir algumas de suas propriedades, que serão discutidas neste texto.

Construção do gráfico da função exponencial

Em uma função qualquer, encontrar pares ordenados que pertençam ao seu gráfico é tarefa simples: basta escolher valores para x e encontrar os valores de f(x) ligados a eles no contradomínio. Isso é feito substituindo o valor de x escolhido na função e calculando a expressão numérica resultante.

1º Exemplo: para encontrar 5 pares ordenados pertencentes ao gráfico da função f(x) = 2x, usaremos os valores x = – 3, x = – 2, x = – 1, x = 0, x = 1, x = 2 e x = 3 e preencheremos a seguinte tabela:

Com a tabela preenchida, perceba que cada valor de x se relaciona a um valor de f(x) que pode ser compreendido como y no par ordenado. Sendo assim, os pares ordenados formados são:

A = (– 3, 1/8)

B = (– 2, 1/4)

C = (– 1, 1/2)

D = (0, 1)

E = (1, 2)

F = (2, 4)

G = (3, 8)

Para desenhar o gráfico, marque os pontos acima do plano cartesiano e desenhe uma curva que os contenha. Atenção: os pontos não devem ser ligados com linhas retas, devem estar sobre uma curva.

2º Exemplo: Fazendo os mesmos procedimentos para a função f(x) = 0,25x, obtemos os seguintes pontos:

A1 = (– 3, 64)

B1 = (– 2, 16)

C1 = (– 1, 4)

D1 = (0, 1)

E1 = (1, 1/4)

F1 = (2, 1/16)

G1 = (3, 1/64)

Construímos o gráfico dessa função junto ao gráfico do primeiro exemplo para comparação:

Propriedades

Nos gráficos acima, é possível observar todas as propriedades das funções exponenciais:

1 – Se a > 1, então a função exponencial é crescente. Para perceber isso, observe a função f(x) = 2x;

2 – Se 0 < a < 1, então a função exponencial é decrescente. Para perceber isso, observe a função f(x) = 0,25x;

3 – Para todo a pertencente aos números reais e para todo x também pertencente a esse conjunto, a função será positiva. Note pelos gráficos que, independentemente dos valores de x e de a, não existem pontos abaixo do eixo x;

4 – Toda função exponencial possui o ponto de coordenadas (0,1).