Conhecemos como números complexos os números z, que podem ser representados da forma z = a + bi. O conjunto dos números complexos surgiu para ampliar o conjunto dos números reais, já que neste as raízes de números negativos não estavam contidas. Com isso, utilizamos i para representar a unidade imaginária, i = √-1, e, assim, tornou-se mais fácil o desenvolvimento de conceitos e das operações com os números complexos. Show Na representação algébrica a + bi, a é conhecido como parte real e b é conhecido como parte imaginária. Existe a representação geométrica de um número complexo, o que pode acontecer no plano complexo, conhecido também como plano de Argand-Gauss. Outra forma de representação de um número complexo é a forma trigonométrica, conhecida também como forma polar. Leia também: Qual é a origem dos sinais? Números complexosForma algébrica de um número complexo.A partir da existência da matemática ao longo dos anos, as ideias envolvendo números foram se adaptando e desenvolvendo as necessidades do ser humano. Com a ideia de números, surgiram vários conjuntos numéricos, são eles: Acontece que, na resolução de algumas equações, percebeu-se que o resultado era a raiz de um número negativo, resultado esse que não pertencia a nenhum conjunto antes da criação dos números complexos. Os estudos dos números complexos tiveram grandes contribuições de Giralmo Cardono, Gauss e Argand. Na tentativa de resolver equações quadráticas, é bastante comum que apareça a raiz de um número negativo, por exemplo, a equação x² = -9 não possui solução no conjunto dos números reais, porém, quando se vale de números complexos, é possível representar sua solução. Para resolver equações que envolvem raízes de números negativos, utilizamos a seguinte representação: Então, ao resolvermos a equação x² = -9, temos que: Existem duas soluções para essa equação que são números complexos, x = 3i ou x = -3i. Todo número complexo z pode ser representado em sua forma algébrica: z = a + bi a → parte real b → parte imaginária Com a e b pertencentes ao conjunto dos números reais. Exemplo: 3 + √-4 é um número complexo. Como não é possível calcular a raiz de um número negativo, vamos representar a raiz de -1 por i. Sabemos que a raiz de 4 é 2, logo, esse número será representado por: z = 3 + 2i Dependendo do valor de a e de b, existem três casos possíveis para o número complexo, ele pode ser imaginário, imaginário puro ou real. Um número é considerado imaginário quando a sua parte real e a sua parte imaginária são diferentes de zero. Exemplos: a) z1 = -1 – 3i b) z2 = 5 + i c) z3 = 2 – 4i d) z4 = -3 + 2i Um número complexo é um imaginário puro quando a sua parte real é igual a zero. Exemplos: a) z1 = 2i b) z2 = -3i c) z3 = 0,5i d) z4 = -4i Um número complexo é real quando a sua parte imaginária é igual a zero. Exemplos: a) 4 b) 2,5 c) √2 d) 7 Veja também: Dicas de Matemática para o Enem Operações com números complexosO conjunto dos números complexos possui operações bem definidas, logo, é possível realizar a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão entre eles. Para fazer a adição de dois números complexos, z1 e z2, basta somar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. Dados: z1 = a + bi e z2 = c + di, então, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i Exemplo: z1 = 3 + 5i e z2 = 4 + i, então: z1 + z2 = (3 + 4) + (5 + 1)i z1 + z2 = 8 + 5i Para realizar a subtração de z1 – z2, faremos a subtração da parte real pela parte real e da parte imaginária pela parte imaginária. Exemplo: z1 = 4 + 2i e z2 = 1 + 4i z1 – z2 = (4 – 1) + (2 – 4)i z1 – z2 = 3 – 2i Para compreender a multiplicação entre dois números complexos, antes é necessário entender como calcular a potenciação da unidade imaginária. Note que: Ao calcular as próximas potências, é possível perceber que o resultado se repetirá: i4 = i2 · i2 = (-1) (-1) = 1 → i0 i5 = i2 · i3 = (-1) (-i) = i → i1 i6 = i5 · i = i · i = -1 → i² i7 = i6 · i = (-1) · i = -i → i³ Como a potência é cíclica, para calcular potências maiores, basta realizar a divisão do expoente por 4. Quando realizamos essa divisão, temos como opções de resto 0, 1, 2 ou 3, que será o novo expoente da potência. Exemplo: Calcule i35: Dividindo 35 : 4, temos como quociente 8, pois 8 · 4 = 32, e o resto será 3. Então: i35 = i3 = -i Para a multiplicação de dois números complexos, vamos aplicar a propriedade distributiva. Exemplo: Calcule o produto de (5 + 3i) (2 – 3i): (5 + 3i) (2 – 2i) = 10 – 15i + 6i – 9i² → sabemos que i² = -1 (5 + 3i) (2 – 2i) = 10 – 15i + 6i – 9 (-1) (5 + 3i) (2 – 2i) = 10 – 15i + 6i + 9 (5 + 3i) (2 – 2i) = 19 – 9i Leia também: Quatro conteúdos básicos de Matemática para o Enem Conjugado de um número complexoConhecemos como conjugado de um número complexo escrito da forma a + bi o número complexo a – bi. Utilizamos o conjugado para calcular a divisão de dois números complexos. Como não podemos deixar raiz no denominador de uma fração, para realizar a divisão, calculamos: Multiplica-se pelo conjugado do denominador, a fim de eliminar a raiz do denominador. Exemplo: (6 – 4i) : (4 + 2i) Plano de Argand-GaussConhecido também como plano complexo, o plano de Argand-Gauss é uma adaptação do plano cartesiano para a representação de números complexos. Os números complexos são representados por pontos no plano de Argand-Gauss com coordenadas (a,b). No eixo vertical, representamos a parte imaginária do número, e no eixo horizontal, a parte real. Plano de Argand-GaussMódulo de um número complexoAssim como nos números reais, o módulo de um número complexo está ligado à distância que ele está da origem. Como estamos trabalhando com uma representação em um plano, essa distância é dada pelo teorema de Pitágoras. Note que o módulo de z, representado por |z|, é a hipotenusa do triângulo retângulo. Então, temos que: Exemplo: Calcule o módulo de z = 3 + 2i. |z|² = 3² + 4² |z|² = 9 + 16 |z|² = 25 |z| = √25 |z| = 5 Veja também: Temas de Matemática que mais caem no Enem Argumento de um número complexoConhecemos como argumento de um número complexo o ângulo formado entre o eixo horizontal e o seguimento do módulo de z. Então, conhecemos como argumento de z o valor do ângulo θ arg (z) = θ. Para encontrar o valor desse ângulo, analisamos o valor do seno e do cosseno do ângulo θ. Exemplo: Encontre arg(z) sabendo que z = 1 + √3i. Primeiro calcularemos |z|, para depois encontrarmos o seno e o cosseno do ângulo: O ângulo que possui esses valores para o cosseno e para o seno é o de 60º, que pode ser representado também como π/3. Forma trigonométrica ou polarA forma trigonométrica é uma outra possibilidade de representação para um número complexo. Também é conhecida como forma polar de um número complexo. Analisando a fórmula do cosseno e do seno, podemos reescrever a parte real e a parte imaginária da seguinte forma: Sabemos que z = a + bi, então, temos que: z = |z| cos θ + |z| sen θ · i Colocando |z| em evidência, encontramos a forma trigonométrica do número: z = |z|(cos θ + i · sen θ) Exemplo: Escreva na forma trigonométrica o número z = 1 + 1i. Para escrever na forma trigonométrica, precisamos do argumento e do módulo de z. |z|² = 1² + 1² |z|² = 1 + 1 |z|² = 2 |z| = √2 Agora vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo: Ao consultar a tabela dos ângulos notáveis, sabemos que o ângulo que possui seno e cosseno com os valores encontrados é θ = 45º. Então, na forma trigonométrica, temos que: z = |z|(cos θ + i · sen θ) z = √2(cos 45º + i · sen 45º) Exercícios resolvidosQuestão 1 – (FAG 2018) Considere a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão (i + 1)8 é: A) 32i B) 32 C) 16 D) 16i E) 48 Resolução Alternativa C Temos que: (i + 1)8 = ((i + 1)²)4 = (i² + 2i + 1²)4 (i + 1)8 = (-1 + 2i + 1)4 (i + 1)8 = (2i)4 (i + 1)8 = 24 i4 Sabemos que 4 : 4 = 0, então i4 = i0 = 1. (i + 1)8 = 16 · 1 = 16 Questão 2 – (Uel) A forma algébrica do número complexo z = (1 + 3i)/(2 – i) é: A) 1/2 – 3i B) 5/3 + (7i/3) C) -1/5 + (7i/5) D) -1/5 + 7i E) 3/5 + (4i/5) Resolução Alternativa C Calculando a divisão: |