Construa as retas no plano cartesiano que contém as soluções dos sistemas de equações brainly

esse valor. 53AULA 3 Tópico 3 2 3 11 2 7 4 2 12 x y z x y z x y z + − = − + = − + − = b) Existe um valor de r tal que x r= , 2y = , 1z = é uma solução do sistema linear a seguir? Em caso afirmativo, determine esse valor. 3 2 4 4 5 2 3 2 9 x z x y z x y z − = − + = − − + + = 4. Determine a solução geral da equação 3 4 5x y z− + = . 5. Prove o teorema 1 da aula 3. Fundamentos de Álgebra54 AULA 4 Resolução de Sistemas Lineares: Método de Eliminação de Gauss Nesta aula, continuaremos estudando os sistemas lineares. Discutiremos como as soluções de sistemas lineares a duas ou três incógnitas podem ser interpretadas geometricamente, quais as possibilidades para o conjunto solução de um sistema linear geral e apresentaremos um processo de resolução de sistemas lineares baseado num algoritmo conhecido por método de eliminação de Gauss. Objetivos • Interpretar geometricamente soluções de sistemas lineares a duas ou três incógnitas • Analisar as possibilidades para o conjunto solução de sistemas lineares • Aplicar o método de eliminação de Gauss para a resolução de sistemas lineares 55AULA 4 Tópico 1 TÓPICO 1 Discussão sobre o conjunto solução de um sistema linear ObjetivOs • Interpretar geometricamente sistemas de equações lineares a duas ou três incógnitas • Classificar sistemas de equações lineares de acordo com a sua solução Em nossa terceira aula, vimos em alguns teoremas as possibilidades para o conjunto solução de uma equação linear geral. Neste tópico, veremos como interpretar geometricamente as soluções de sistemas lineares a duas ou três incógnitas e discutir quais as possibilidades para o conjunto solução de um sistema linear geral. Posteriormente, discutiremos métodos computacionais para encontrar soluções de sistemas lineares. A respeito do ensino de sistemas lineares, as orientações curriculares para o Ensino Médio apresentam a seguinte sugestão: No estudo de sistemas de equações, além de trabalhar a técnica de resolução de sistemas, é recomendável colocar a álgebra sob o olhar da geometria. A resolução de um sistema 2 2´ de duas equações e duas variáveis pode ser associada ao estudo da posição relativa de duas retas no plano. Com operações elementares simples, pode-se determinar a existência ou não de soluções desse sistema, o que significa geometricamente os casos de intersecção/coincidência de retas ou paralelismo de retas. (BRASIL, 2006, p. 77-78). A interpretação geométrica de sistemas lineares a duas ou três incógnitas é um auxílio importante, pois facilita muito o entendimento da situação apresentada pelo sistema. Infelizmente, esta técnica é, em geral, dispensada pelos livros didáticos. Fundamentos de Álgebra56 1. SISTEMAS LINEARES DE DUAS EQUAÇÕES A DUAS INCÓGNITAS Iniciaremos fazendo a interpretação geométrica de um sistema linear de duas equações a duas incógnitas. Você já sabe que uma equação linear a duas variáveis (incógnitas) ax by c+ = não- degenerada ( a e b não são ambos nulos) representa, no plano cartesiano xy, uma reta. Esse conhecimento você adquiriu na Educação Básica e deve ter sido complementado na disciplina de Fundamentos de Matemática I. Você pode também rever o Exemplo 4 de nossa terceira aula, onde construímos o gráfico de 2x y 4+ = . Consideremos o sistema linear geral de duas equações a duas incógnitas x e y. 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + = + = (1) Vamos supor que as duas equações lineares em (1) são não-degeneradas, ou seja, 1a e 1b não são ambos nulos e 2a e 2b não são ambos nulos. Vamos voltar agora ao caso em que ambas as equações do sistema (1) são não-degeneradas. Neste caso, cada uma das duas equações representa, no plano cartesiano xy, uma reta. Portanto, cada solução ( x,y ) desse sistema correspon de a um ponto da interseção dessas retas. Desse modo, o número de soluções e as soluções do sistema dependem da posição relativa das duas retas. Existem, então, três possibilidades: As retas podem ser paralelas e distintas, caso em que não existe interseção e, consequentemente, o sistema não tem solução (figura 1a); 1. As retas podem intersectar exatamente num ponto, caso em que o sistema tem exatamente uma so lução (figura 1b); 2. As retas podem ser coincidentes, caso em que há uma infinidade de pontos de interseção (todos pontos da reta comum), e, consequentemente, o sistema tem uma infinidade de soluções (figura 1c). at e n ç ã o ! No caso de pelo menos uma das equações ser degenerada, a análise do conjunto solução do sistema linear é bem simples. Suponhamos, por exemplo, que a primeira equação seja degenerada. Se c1 0= , todo vetor do  2 é solução da equação. Neste caso, a equação não representa restrição alguma, e, portanto, o conjunto solução do sistema corresponde ao conjunto solução da outra equação. Se c1 0¹ , a equação não tem solução. Neste caso, a equação não é satisfeita por vetor algum do 2 , e, portanto, o sistema não tem solução. A mesma análise valeria para o caso de a segunda equação ser degenerada. v o c ê s a b i a? Dizer que a e b não são ambos nulos é o mesmo que dizer que a b2 2 0+ ≠ . 57AULA 4 Tópico 1 Figura 1a– Nenhuma solução (retas paralelas) Figura 1b– Uma única solução (retas concorrentes) Figura 1c– Uma infinidade de soluções (retas cincidentes) Essas possibilidades para o conjunto solução de um sistema linear com duas equações a duas incógnitas são as mesmas para um sistema linear geral de m equações a n incógnitas. Temos, assim, o teorema a seguir, cuja prova ficará evidente posteriormente. A interpretação geométrica de um sistema linear de três equações a três incógnitas que faremos logo abaixo é também uma evidência desse resultado. Teorema 1 : Cada sistema de equações lineares tem nenhuma, uma ou uma infinidade de solu ções, não havendo outras possibilidades. Um sistema linear é chamado possível quando tem pelo menos uma solução e impossível quando não tem solução. Assim, um sistema linear possível tem ou uma solução ou uma infinidade de soluções, não havendo outras possibilidades. Quando tem uma única solução, dizemos ainda que o sistema é possível determinado. Quando tem uma infinidade de soluções, dizemos também que o sistema é possível indeterminado. A figura 2 ilustra todas as possibilidades para o número de soluções de um sistema linear. Figura 2– Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções Fundamentos de Álgebra58 2. SISTEMAS LINEARES DE TRÊS EQUAÇÕES A TRÊS INCÓGNITAS A interpretação geométrica de um sistema linear de três equações a três incógnitas é também possível e contribui para a compreensão geral das possibilidades de solução de um sistema linear geral. Para isso, você deve saber que uma equação linear a três variáveis (incógnitas) ax by cz d+ + = não-degenerada ( a , b e c não são ambos nulos ou 2 2 2a b c 0+ + ¹ ) representa, no sistema cartesiano xyz no espaço, um plano. Consideremos o sistema linear geral de três equações a três incógnitas x, y e z. 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d + + = + + = + + = (2) Vamos supor que as três equações lineares em (2) são não-degeneradas, ou seja, 2 2 21 1 1a b c 0+ + ¹ , 2 2 2 2 2 2a b c 0+ + ¹ e 2 2 2 3 3 3a b c 0+ + ¹ . Neste caso, cada uma das três equações representa, no sistema cartesiano xyz no espaço, um plano. Portanto, cada solução (x,y,z) do sistema (2) correspon de a um ponto da interseção desses planos. Assim, o número de soluções e as soluções do sistema (2) dependem da posição relativa dos três planos,