Resolva esta lista de exercícios sobre matriz inversa! Verifique se uma matriz possui inversa ou não por meio do seu determinante. Encontre a matriz inversa.
Questão 1
Analise a matriz a seguir: Podemos afirmar que a inversa da matriz A é:
Questão 2
Sabendo que as matrizes A e B são inversas, x e y são, respectivamente: A) x = 4 e y = 2 B) x = -3 e y = -1 C) x = 5/2 e y = -2/3 D) x = -1/2 e y = 5/4 E) x = -1 e y = 1/2
Questão 3
Dada uma matriz A, sabemos que ela pode ter uma matriz inversa ou não. Para isso, calculamos o determinante da matriz. Sobre a matriz A, a seguir, podemos afirmar que: A) A matriz admite inversa, já que o seu determinante é igual a 0. B) A matriz admite inversa, já que o seu determinante é diferente de 0. C) A matriz não admite inversa, já que o seu determinante é igual a 0. D) A matriz não admite inversa, já que o seu determinante é diferente de 0.
Questão 4
Dada a matriz M e a matriz M-1, podemos afirmar que o valor de x + y é: A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
Questão 5
A matriz B é uma matriz quadrada e não inversível. Sendo assim, o valor de x é: A) 0 B) 1 C) 2 D) -2 E) -1
Questão 6
Sobre a matriz inversa, julgue as afirmativas a seguir: I – A matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. II – A matriz inversa da matriz identidade é ela mesma. III – Uma matriz 3x2 pode admitir inversa. Marque a alternativa que contém o julgamento correto respectivamente: A) F, F, F B) V, V, V C) F, V, V D) V, V, F E) V, F, F
Questão 7
(Unicamp) Considere a matriz quadrada A de ordem 3, onde x é um número real: Podemos afirmar que: A) A não é inversível para nenhum valor de x. B) A é inversível para um único valor de x. C) A é inversível para exatamente todos os valores de x. D) A é inversível para todos os valores de x.
Questão 8
(Cefet MG) A matriz A é inversa de B. Pode-se afirmar que a diferença x – y é igual a: A) -8 B) -2 C) 2 D) 6 E) 8
Questão 9
(UFU MG - adaptada) Considere o conjunto das matrizes da forma: O valor de k para que a matriz exista exatamente como uma matriz inversível nesse conjunto é: A) -21/4 B) 12/5 C) -7/2 D) 3/5 E) 4/9
Questão 10
Seja B a matriz inversa de A, sabendo que a matriz A é de ordem dois em que os termos são aij = i + j, o termo que ocupa a posição b22 da matriz B é: A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) -2
Questão 11
Sobre a matriz inversa, julgue as afirmativas a seguir: I – Toda matriz quadrada admite matriz inversa. II – A matriz nula não admite matriz inversa. III – A inversa da matriz A-1 é a matriz A. Agora marque a alternativa que corresponde ao julgamento correto: A) F, F, V B) V, V, F C) F, V, V D) V, F, F E) V, F, V
Questão 12
Quais são os valores de x que fazem com que a matriz não seja inversível? A) x = 0 ou x = 5 B) x = 4 ou x = 5 C) x = 2 ou x = 1 D) x = -3 ou x = 4 E) x = 3 ou x = -4
Resposta - Questão 1
Alternativa B Dada a matriz A, para encontrar a inversa da matriz, vamos resolver a equação: A · A-1 = I Montando o primeiro sistema e analisando a primeira coluna, temos que: Isolando a11 na equação II, temos que: a11 = -3a21 Substituindo em I: a11 + 2a21 = 1 – 3a21 + 2a21 = 1 – a21 = 1 (-1) a21 = -1 Tendo o valor de a21, é possível encontrar o valor de a11: a11 = -3a21 a11 = -3 (-1) a11 = 3 Agora vamos analisar a segunda coluna para montar o segundo sistema: Isolando a12 em III, temos: a12 = -2a22 Substituindo em IV: a12 + 3a22 =1 – 2a22 + 3a22 = 1 a22 = 1 Conhecendo o valor de a22, encontraremos o valor de a12: a12 = -2 a22 a12 = -2 · 1 a12 = -2 Representando a matriz inversa, temos:
Resposta - Questão 2
Alternativa D Como B é a inversa de A, então, montando a equação, temos que: Agora podemos escolher uma equação com x, para encontrar o valor de x, e uma equação com y, para encontrar o valor de y. Escolhendo o termo que está na segunda linha, primeira coluna, temos que: Para encontrar o valor de y, utilizaremos o termo da segunda coluna, primeira linha:
Resposta - Questão 3
Alternativa B Para verificar se a matriz admite inversa, basta calcular o determinante da matriz, caso ele seja 0, a matriz não é inversível: Det(A) = 2 · 2 · 1 + 0 · 1 · 3 + 1 · 1 · 2 – (1 · 2 · 3 + 2 · 1 · 2 + 0 · 1 ·1) Det(A) = 4 + 0 + 2 – (6 + 4) Det(A) = 6 – 10 Det(A) = -4 Como o determinante da matriz é diferente de 0, a matriz é inversível.
Resposta - Questão 4
Alternativa D Montando a equação matricial, sabendo que M · M-1 = In: Pela terceira coluna, temos que: x + 1 = 0 x = -1 Conhecendo o valor de x, basta escolher qualquer uma das outras equações da terceira coluna para encontrar o valor de y. 3x + 1 + y = 0 3 (-1) + 1 + y = 0 – 3 + 1 + y = 0 – 2 + y =0 y = 2 Então: x + y = – 1 + 2 = 1
Resposta - Questão 5
Alternativa C Para que a matriz não seja inversível, seu determinante tem que de ser igual a zero: det(B) = 3x – 6 · 1 det(B) = 3x – 6 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 6/3 x = 2
Resposta - Questão 6
Alternativa D I → Verdadeira, pois, se det(A) for diferente de zero, a matriz admite inversa. II → Verdadeira, pois In · In = In. III → Falsa, para que uma matriz admita inversa, ela precisa ser uma matriz quadrada, ou seja, ter o mesmo número de linhas e colunas.
Resposta - Questão 7
Alternativa B Calculando o determinante da matriz, temos que: det(A) = cosx · 1 · cosx + 0 · 0 · senx + (-senx) · 0 · 0 – [ – senx · 1 · senx + cosx · 0 · 0 + 0 · 0 · cosx] det(A) = cos²x + 0 + 0 – [– sen²x + 0 + 0] det(A) = cos²x – [-sen²x] det(A) = cos²x + sen²x Pelo teorema fundamental da trigonometria, cos²x + sen²x = 1 para todo valor de x, ou seja: det(A) = 1 Como ele é diferente de 0, então a matriz é inversível para qualquer valor de x.
Resposta - Questão 8
Alternativa E Montando a equação e igualando os termos da matriz, temos que: Então: x – y = 3 – (-5) = 3 + 5 = 8
Resposta - Questão 9
Alternativa A Calculando o determinante da matriz, temos que: det(M) = (x – 3) (x – 5) – (x + k) det(M) = x² – 5x – 3x + 15 – x – k det(M) = x² – 9x + 15 – k Como a matriz não é inversível, então det(M) = 0. x² – 9x + 15 – k = 0 Encontramos uma equação do 2º grau. Como queremos que exista exatamente uma matriz inversível no conjunto, Δ = 0, pois, quando Δ = 0, existe um único valor que faz com que a equação seja igual a 0. a = 1 b = -9 c = 15 – k Δ = b² – 4ac Δ = (-9)² – 4 · 1 · (15 – k) Δ = 81 – 60 + 4k Δ = 21 + 4k 21 + 4k = 0 4k = -21 k = -21/4
Resposta - Questão 10
Alternativa E Primeiro construiremos a matriz A: a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 Então a matriz A será: Encontrando a inversa de A, temos que: Como o nosso interesse é só no termo b22, vamos analisar as duas equações da segunda coluna, então montaremos o sistema e o resolveremos pelo método da substituição:
Resposta - Questão 11
Alternativa C I → Falsa, pois se o determinante for zero, a matriz quadrada não admite inversa. II → Verdadeira, pois o determinante da matriz nula é 0, logo, ela não admite inversa. III → Verdadeira, pois A-1 · A = In.
Resposta - Questão 12
Alternativa E Como a matriz é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Para que ela não seja inversível, seu determinante deve ser igual a zero. det(A) = 2 · (x + 4) · (x – 3) · 5 Para que essa multiplicação seja igual a 0, uma das parcelas deve ser zero, ou seja: x + 4 = 0 → x = -4 ou x – 3 = 0 → x = 3 |