Como separar um incognita da raiz quadrada

Entre as formas de se encontrar o valor numérico de x, processo também conhecido como encontrar as raízes de uma equação ou encontrar a solução de uma equação, destacam-se: Fórmula de Bhaskara e o processo de completar quadrados. Esse último é o foco do texto de hoje.

A quantidade de soluções de uma equação é dada pelo grau dela. Portanto, equações do primeiro grau possuem apenas uma solução, equações do terceiro grau possuem três soluções e equações do segundo grau possuem duas soluções, também chamadas de raízes.

As equações do segundo grau, em sua forma reduzida, podem ser escritas da seguinte maneira:

ax2 + bx + c = 0

Método de completar quadrados

Caso em que a equação do segundo grau é um trinômio quadrado perfeito

Equações do segundo grau resultantes de um produto notável são conhecidas como trinômio quadrado perfeito. Para encontrar suas raízes, utilizaremos o método exemplificado abaixo:

Exemplo: Calcule as raízes da equação x2 + 6x + 9 = 0.

Observe que o coeficiente b é 6 = 2·3. Para escrevê-la na forma de produto notável, basta conferir se c = 32, o que é verdade, já que 32 = 9 = c. Dessa maneira, podemos escrever:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0

Observe que um produto notável é o produto entre dois polinômios iguais. No caso dessa equação, teremos:

(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = 0

Um produto somente é igual a zero quando um de seus fatores é igual a zero. Portanto, para que (x + 3)(x + 3) = 0, é necessário que (x + 3) = 0 ou (x + 3) = 0. Daí os dois resultados iguais para a equação x2 + 6x + 9 = 0, que são: x = – 3 ou x = – 3.

Resumindo: para resolver a equação x2 + 6x + 9 = 0, escreva:

x2 + 6x + 9 = 0

(x + 3)2 = 0

(x + 3)(x + 3) = 0

x = – 3 ou x = – 3

Caso em que a equação do segundo grau não é um trinômio quadrado perfeito

Uma equação do segundo em que o coeficiente b e o coeficiente c não cumprem as relações estabelecidas acima não é um trinômio quadrado perfeito. Nesse caso, o método resolutivo anteriormente destacado pode ser utilizado com a adição de alguns passos. Observe o exemplo a seguir:

Exemplo: Calcule as raízes da equação x2 + 6x – 7 = 0.

Observe que essa equação não é um trinômio quadrado perfeito. Para que ela seja, podemos utilizar as seguintes operações:

Observe que b = 2·3, portanto, no primeiro membro, a expressão que deve aparecer é x2 + 6x + 9, pois nessa expressão b = 2·3 e c = 32.

Para essa “transformação”, adicione 32 nos dois membros dessa equação, “passe” o – 7 para o segundo membro, realize as operações possíveis e observe os resultados:

x2 + 6x – 7 + 32 = 0 + 32

x2 + 6x + 32 = 32 + 7

x2 + 6x + 9 = 9 + 7

x2 + 6x + 9 = 16

(x + 3)2 = 16

√(x + 3)2 = √16

x + 3 = 4 ou x + 3 = – 4

Essa última etapa deve ser dividida em duas equações, pois a raiz de 16 tanto pode ser 4 como – 4 (isso ocorre apenas em equações. Caso lhe perguntem qual é a raiz de 16, a resposta é apenas 4). Então, é necessário encontrar todos os resultados possíveis. Continuando:

x + 3 = 4 ou x + 3 = – 4

x = 4 – 3 ou x = – 4 – 3

x = 1 ou x = – 7

Caso em que o coeficiente “a” não é igual a 1

Os casos anteriores são destinados a equações do segundo grau onde o coeficiente “a” é igual a 1. Se o coeficiente “a” for diferente de 1, basta dividir toda equação pelo valor de “a” e prosseguir com os cálculos da mesma forma que o caso anterior.

Exemplo: Calcule as raízes de 2x2 + 16x – 18 = 0

Observe que a = 2. Portanto, divida toda a equação por 2 e simplifique os resultados:

2x2 + 16x – 18 = 0
 2        2      2     2

x2 + 8x – 9 = 0

Feito isso, repita os procedimentos do caso anterior.

x2 + 8x – 9 = 0

x2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16

x2 + 8x + 16 = 9 + 16

(x + 4)2 = 25

√(x + 4)2 = √25

x + 4 = 5 ou x + 4 = –5

x = 5 – 4 ou x = – 5 – 4

x = 1 ou x = – 9

Produtos notáveis e as equações do segundo grau: Origem do método de completar quadrados

As equações do segundo grau em muito se parecem com os produtos notáveis quadrado da soma e quadrado da diferença.

O quadrado da soma, por exemplo, é uma soma de dois monômios elevada ao quadrado. Observe:

(x + k)2 = x2 + 2kx + k2

O primeiro membro da igualdade acima é conhecido como produto notável e o segundo como trinômio quadrado perfeito. Este ultimo em muito se parece com uma equação do segundo grau. Observe:

Trinômio quadrado perfeito: x2 + 2kx + k2

Equação do segundo Grau: ax2 + bx + c = 0

Dessa maneira, caso haja alguma maneira de escrever uma equação do segundo grau como um produto notável, talvez haja também uma forma de encontrar seus resultados sem a necessidade de utilizar a fórmula de Bháskara.

Para tanto, observe que, no produto notável acima, a = 1, b = 2·k e c = k2. Dessa maneira, é possível escrever equações que cumprem esses requisitos na forma de produto notável.

Portanto, observe os coeficientes da equação. Se “a” for diferente de 1, divida toda a equação pelo valor de “a”. Caso contrário, observe o coeficiente “b”. O valor numérico de metade deste coeficiente deve ser igual ao valor numérico da raiz quadrada do coeficiente “c”. Matematicamente, dada a equação ax2 + bx + c = 0, se a = 1 e, além disso:

b = √c
2        

Então, pode-se escrever essa equação da seguinte maneira:

ax2 + bx + c = (x + b) = 0
                      2

E as suas raízes serão – b e + b.
                                    2       2

Dai vem toda a teoria utilizada para calcular raízes de equações do segundo grau pelo método de completar quadrados.

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Matemática, 15.08.2019 05:16, Ristermit

Urgente! numa região de fronteira foram encontrados 10 mil refugiados. destes, 4000 eram sírios. como estavam sem documentos foram presos pela polícia local. continue o texto demonstrando a população, variável qualitativa e quantitativa.​

Total de respostas: 1

Ao realizar as operações de multiplicação e divisão de radicais, devemos atentar em um detalhe importante: os índices das raízes são iguais ou diferentes? Para cada um dos casos, agimos de forma diferenciada, como poderemos ver a seguir:

1. Quando os índices são iguais

Você se lembra das 3ª e 4ª propriedades da radiciação? De acordo com elas, para realizar o quociente ou a multiplicação de radicais que possuem o mesmo índice, basta fazer a operação desejada entre os radicandos. Vejamos a seguir como realizamos essas operações entre radicais com o mesmo índice:

1. Quando os índices são diferentes

Para realizar uma multiplicação ou uma divisão entre raízes que apresentam índices distintos, precisamos modificá-las para que todas tenham o mesmo índice. Para tanto, podemos aplicar a 2ª propriedade da radiciação, que afirma que “a raiz não sofre alteração se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor.”

Uma das alternativas mais práticas é encontrar o mínimo múltiplo comum entre os índices, reescrevendo os radicais com o novo valor:

A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.

Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos.

Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?

Representação de uma radiciação

Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação:

√ → radical

a→ radicando

b→ raiz

n→ índice

Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional.

Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número.

Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja:

estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.

Exemplos:

Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?

Propriedades da radiciação

As propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.

A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando.

A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas.

A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor.

Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.

Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical.

A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência.

A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador:

Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação?

Simplificação de radicais

Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos.

Exemplo:

Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.

Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.

360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180;   90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;

  45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;

Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 200 como:

360= 2² · 2 · 3² · 5

Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:

Operações com radicais

A adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:

√2 + √3 ≠ √5

Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo:

√2 + √2 = 2√2

Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas.

Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação:

√72 - √50

Sabemos que

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

72 = 2² · 2 · 3²

e também podemos reescrever o 40 como:

50 = 2 · 5 · 5

50 = 2 · 5²

Então teremos:

Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação.

Exemplo:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:

Resolução

Alternativa B.

Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito.

a) → 2ª propriedade

b) → Não é uma propriedade da radiciação.

c) → 5ª propriedade

d) → 1ª propriedade

Questão 2 -  (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é:

Resolução

Alternativa C.

Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².