Como fazer um probleminha com raiz quadrada

A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.

Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos.

Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?

Representação de uma radiciação

Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação:

√ → radical

a→ radicando

b→ raiz

n→ índice

Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional.

Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número.

Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja:

estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.

Exemplos:

Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?

Propriedades da radiciação

As propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.

A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando.

A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas.

A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor.

Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.

Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical.

A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência.

A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador:

Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação?

Simplificação de radicais

Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos.

Exemplo:

Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.

Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.

360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180;   90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;

  45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;

Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como:

360= 2² · 2 · 3² · 5

Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:

Operações com radicais

A adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:

√2 + √3 ≠ √5

Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo:

√2 + √2 = 2√2

Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas.

Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação:

√72 - √50

Sabemos que

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

72 = 2² · 2 · 3²

e também podemos reescrever o 40 como:

50 = 2 · 5 · 5

50 = 2 · 5²

Então teremos:

Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação.

Exemplo:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:

Resolução

Alternativa B.

Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito.

a) → 2ª propriedade

b) → Não é uma propriedade da radiciação.

c) → 5ª propriedade

d) → 1ª propriedade

Questão 2 -  (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é:

Resolução

Alternativa C.

Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².

A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a.

Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados.

Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver?

Radiciação

Na raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes.

A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n.

Elementos da radiciação

A operação é representada por:

  radical

n→ índice

a→ radicando

b→ raiz

Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo.

Calculando a raiz quadrada

O cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a.

Tipos de raiz quadrada

Uma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional.

Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando.

Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir.

Calcule a raiz quadrada de 3600.

Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada.

Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical.

Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100.

Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos.

Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49.

Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40.

6,1² = 37,21

6,2²= 38,44

6,3²=39,69

6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação.

Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata.

Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Alguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m².

Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área.

O lado do quadrado é de 13 metros.

Questão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72?

A) 8,1

B) 8,2

C) 8,3

D) 8,4

E) 8,5

Resolução

Alternativa D.

Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que:

8,1²= 65,61

8,2²= 67,24

8,3²= 68,89

8,4²= 70,56

8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4.

Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata?

Resolução

Alternativa C.

a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121.

b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69.

c) Não possui raiz exata

d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½.

e) Possui raiz exata igual a 1.    

1 - O prédio onde Jacira mora tem 4 andares em cada andar ha 4 apartamentos para cada apartamento ha 4 vagas na garagem como posso representa em forma de potência o numero de vagas desse prédio e quantas são?

2 – O raio da terra mede aproximadamente 6.400.000 metros, indique esse número em forma de potência na base 10:

3 – Se você elevar o número 6 ao expoente encontrará 216. Qual o valor do expoente n?

4 – Verifique se a igualdade é verdadeira:  13² = 12² + 5² :

5 – Assinale a igualdade correta;

a) 4 x 3³ =30

b) 3²  x  4³ = 63

c) 2³ + 5² = 34

d) 100 + 15¹ = 16

6 - Um terreno quadrado tem 324 m² de área. Quanto mede o lado do terreno?

7 – Se x8 = 256, Determine o valor de x:

83 - Se um terreno quadrado tem 900 m² de área. Quantos metros mede o seu perímetro?

9  – Seu João deseja cercar um terreno quadrado de área de 484 m², sem porteira e pretende colocar 6 voltas de arame farpado e precisa saber quantos metrosd e arame vai usar, ajude-o a encontrar:

10  - Qual será a área, em m²,de um terreno com o triplo da medida do lado de um quadrado que mede 289 m²?

RESPOSTAS - MATEMÁTICA – SITUAÇÕES PROBLEMAS ENVOLVENDO POTÊNCIA E RAIZ QUADRADA – 6º ANO (05/11/17)

1 à  4³ = 4×4×4= 64 vagas

2 à 64 x 100. 000 à 64 x 105

3 à Fatore o 216 | 2
                      108 | 2
                        54 | 2
                        27 | 3
                         9  | 3
                         3  | 3
                         1  |  / 2³ x 3³ à (2 x 3 ) ³ à 6³ à n = 3        

4 à 13 x 13 = 169 e 12² = 12 x 12 = 144 e 5² = 5 x 5 = 25 à 144 = 25 = 169 Verdadeira

5 – D à 1 + 15 = 16

6 à √324 = 18 à o lado mede 18 metros

7 à Decompõe 256 à 28 à x = 2

8 à O lado √900 = 30  à P = 30 + 30 + 30 + 30 120 m

9 à √484 = 22 lado – P = 22 + 22 + 22 + 22 = 88 x 6 = 528 metros de arame