Show O estudo de uma função implica, normalmente, na determinação de seu domínio e gráfico. A função em questão é: \(f(x) = \frac{\ln \sqrt{-x}}{\sqrt{-x}}\) Supondo tratamento dentro dos números reais, devemos ter o logaritmando maior que zero e o argumento das raízes quadradas maior que zero, ou seja: \(\sqrt{-x} > 0 \to -x > 0 \to x < 0\) Logo, o domínio da função inclui todos os reais negativos e não nulos: \(\boxed{D = \mathbb{R}_{-}^*}\) O gráfico plotado da função deve se assemelhar ao seguinte: Determinar o conjunto de domínio, contra domínio e imagem desta função. Verificar se é crescente ou descreste e se ela é par ou ímar. Acredito que só isso. Acho que falar "estudo completo" é meio vago, porque dá pra dizer muita coisa, mas muita coisa mesmo sobre uma função, tipo domínio, imagem, se ela é crescente ou decrescente, par ou ímpar (que nem a Gleice falou), e mais outras coisas como os zeros, máximos e mínimos, derivadas, se tem alguma assíntota, expansões em séries de Taylor, se é convexa, e mais um monte de coisa que eu nem tenho ideia do que se trata. Então, eu vou tentar fazer o básico mesmo. A sua função é: ln[√(-x)]f(x) = ----------- √(-x) Primeira coisa, o domínio. Graças à raiz quadrada, o termo (-x) tem que ser não negativo. Logo,(-x) ≥ 0 (multiplicando por -1 e invertendo o sinal)x ≤ 0Porém, como esse termo aparece no denominador, ele não pode nunca ser zero. Logo, x ≠ 0 e, combinando com a parte de cima, x < 0. Agora, graças ao logarimo, o termo √(-x) tem que ser todo maior que zero. Isso já é garantido se x < 0. Assim, juntando tudo, o domínio dessa função é D: x < 0. Em termos de estudo do sinal, como o denominador é sempre positivo, o sinal dessa função vai ser igual ao sinal do numerador, ln[√(-x)]. O ln é negativo quando seu argumento está entre 0 e 1, vale 0 quando seu argumento é 1, e é positivo no resto. Então, como esse argumento é √(-x), a gente tem que Argumento entre 0 e 1:0 < √(-x) < 1 (eleva tudo ao quadrado e despreza o módulo porque x é sempre negativo)0 < (-x) < 1-1 < x < 0Argumento igual a 1:√(-x) = 1 ⇒ x = -1Argumento maior que 1: √(-x) > 1 ⇒ x < -1 Então, quando -1 < x < 0, a função é negativa, zero quando x = -1, e positiva quando x < -1. Em questão de assíntotas, quando x → 0- (tende a zero pela esquerda), a função tende a -∞, então esse negócio tem uma assíntota vertical em x = 0. Fazendo x → -∞, a função gera um limite de ∞/∞, o que pode ser resolvido pela Regra de L'Hopital. Como eu tou com preguiça de derivar isso tudo e escrever aqui, eu vou "roubar". Como eu sei que o ln cresce muito mais devagar que a raiz quadrada, eu sei que o denominador tende para ∞ mais rápido que o numerador e, assim, o limite tende para 0. Logo, ela tem uma assíntota horizontal y = 0. Dá pra ir além e viajar aqui. Se quiser, dê uma olhada no Wolfram que ele costuma fazer os estudos completos (se você quiser pagar um pouquinho a mais).
Em situações cotidianas, o desafio de calcular a raiz quadrada de um número é enfrentado. E se você não tiver acesso a uma calculadora ou qualquer outro gadget? Isso pode ser feito com papel e lápis antigos em um estilo de divisão longa. Sim, existem várias maneiras de fazer isso. Vamos começar discutindo a raiz quadrada e suas propriedades. O que é uma raiz quadrada?Uma raiz quadrada é um valor que dá ao número original aquela multiplicação de si mesmo. por exemplo, 6 multiplicado por ele mesmo dá 36 (ou seja, 6 × 6 = 36), portanto, 6 é a raiz quadrada de 36 ou, em outras palavras, 36 é o número quadrado de 6.
A seguir estão as raízes quadradas dos primeiros 50 dígitos como:
Portanto, a raiz quadrada do quadrado de um número positivo fornece o número original. No entanto, a raiz quadrada de um número negativo representa um número complexo. Propriedades da raiz quadrada
Quadrado perfeitoUm número que pode ser expresso como o produto de dois inteiros idênticos é chamado de quadrado perfeito. Quadrados perfeitos são números que podem ser feitos elevando-se ao quadrado qualquer número inteiro.
Métodos para encontrar a raiz quadrada de um númeroPara determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito, devemos primeiro determinar se é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito. Se o número for um quadrado perfeito, como 4, 9, 16, etc., usaremos o processo de fatoração de primos para fatorá-lo. Devemos usar a abordagem de divisão longa para encontrar a raiz se o número for um quadrado incompleto, como 2, 3, 5 e assim por diante.
1. Método de subtração repetidaSabe-se que a soma dos primeiros n números naturais ímpares é n 2 . Faremos isso para calcular a raiz quadrada de um inteiro subtraindo-o várias vezes. Vamos considerar um exemplo e ver como essa abordagem funciona. Digamos que você deva encontrar a raiz quadrada de 25, que é √25. As etapas são as seguintes: Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de subtração repetida para determinar as raízes quadradas. Exemplo 1: Determine a raiz quadrada de 25 usando o método de subtração repetida.
Exemplo 2: Determine a raiz quadrada de 16 usando o método de subtração repetida.
Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 49 usando o método de subtração repetida. Solução:
2. Método de Fatoração PrincipalO método de fatoração de primos envolve a expressão de números em função de seus fatores primos. A raiz quadrada do número é dada pelo produto de um elemento de cada par de fatores primos iguais. Essa abordagem também pode ser usada para determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou não. Este método, entretanto, não pode ser usado para encontrar a raiz quadrada de números decimais quadrados não perfeitos.
3. Método de DivisãoQuando os inteiros são suficientemente grandes, é fácil obter a raiz quadrada de um quadrado perfeito utilizando a abordagem de divisão longa, porque obter suas raízes quadradas por meio da fatoração se torna demorado e complicado. Para superar esse problema, um novo método para encontrar a raiz quadrada é desenvolvido. Este método usa basicamente a operação de divisão por um divisor cujo quadrado é menor ou igual ao dividendo. A seguir estão as etapas para o método de divisão: Etapa 1: pegue o número cuja raiz quadrada deve ser encontrada. Coloque uma barra sobre cada par do dígito do número, começando daquele no lugar da unidade (lado direito). Etapa 2: vamos dividir o número mais à esquerda pelo maior número cujo quadrado é menor ou igual ao número sob a barra mais à esquerda. Considere este número como o divisor e o quociente. O número sob a barra mais à esquerda é considerado o dividendo. Etapa 3: divida e obtenha o número. Abaixe o número sob a próxima barra à direita do restante. Etapa 4: Dobre o divisor (ou some o divisor a ele mesmo). À direita desse divisor, encontre um número adequado que, junto com o divisor, forma um novo divisor para o novo dividendo. O novo número no quociente terá o mesmo número selecionado no divisor. A condição é a mesma que ser menor ou igual ao dividendo. Etapa 5: continue este processo até chegarmos a zero como o restante. O quociente assim obtido será a raiz quadrada do número. Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de divisão para determinar as raízes quadradas. Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 144 usando o método de divisão. Solução:
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 196 usando o método de divisão. Solução:
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 225 usando o método de divisão. Solução:
4. Raízes quadradas de números complexosPara calcular a raiz quadrada de um número complexo, vamos supor que a raiz seja ea + ib. Em seguida, compare-o com o número original para obter os valores de aeb, resultando na raiz quadrada. Seja a + ib um número complexo, portanto, para encontrar a raiz quadrada de a + ib, a seguinte fórmula pode ser usada Vamos considerar os exemplos a seguir para entender a determinação das raízes quadradas de números complexos. Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 6 - 8i. Solução:
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 9 + 40i. Solução:
Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 3 + 4i. Solução:
|