Como chegar ao resultado de uma raiz quadrada

TEXTO ELABORADO POR: Professor Carlos Alberto

Entre as matérias que os alunos devem estudar a matemática pode ser considerada uma das que mais causam dificuldades. Pensando nisso, resolvemos trazer algumas dicas para te ajudar a resolver as questões dessa matéria com mais facilidade, seja nas suas atividades escolares ou nas questões do ENEM e vestibulares.

Confira o macete de hoje:

Calcular RAIZ QUADRADA é uma dor de cabeça, não acha? Que tal formar grupos depois de uma decomposição? 

Observe que o processo serve para qualquer raiz de qualquer índice!

1) Primeiro passo: faça uma decomposição em fatores primos, fatorando o número usando divisões com números primos. Do lado direito forme o grupo.

Faça da seguinte forma:

2) O grupo que iremos formar, após a decomposição, tem a quantidade de elementos igual ao índice da raiz, portanto, se a raiz for quadrada o grupo terá 2 elementos, se for cúbica terá 3 elementos e assim por diante.

3) Após isso, circule um dos elementos do grupo e cancele o outro.

4) Por último, multiplique os valores circulados, encontrando o resultado da raiz.

 Exemplo:

Vamos seguir o passo a passo acima:

­4) multiplicamos os números circulados que são 2.2.2 = 8

Mais um exemplo:

4) multiplicamos os números circulados que são 2.2 = 4

Agora que já temos alguns exemplos, vamos ver de uma forma mais contextualizada:

VAMOS APLICAR!

1. (ENEM 2010) Embora o índice de massa corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O recíproco do índice ponderal (rip), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui rip igual a

1.  0,4 cm/kg1/3
2.  2,5 cm/kg1/3
3.  8 cm/kg1/3
4.  20 cm/kg1/3
5.  40 cm/kg1/3

RESOLUÇÃO:

Descobrindo a altura:

Sabemos pela fórmula que:   

Descobrindo o rip:

Pois:

RESPOSTA: LETRA E

Esperamos que essa dica tenha te ajudado! Em breve, estaremos trazendo mais macetes para facilitar sua vida com a matemática, fique atento(a)! Sucesso nos estudos!

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Você já ouviu falar em números quadrados perfeitos? Os quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de qualquer número por ele mesmo. Por exemplo, o 9 é um quadrado perfeito, pois ele é o resultado de 3 x 3 ou, melhor ainda, porque ele é o resultado da potência 32 (lê-se três elevado a dois ou três ao quadrado).

Nós temos uma forma mais usual de representar um número que é tido como quadrado perfeito. Para representá-lo, nós utilizamos a raiz quadrada. Por exemplo, se procuramos a “raiz quadrada de 4”, pretendemos descobrir qual é o número que, ao quadrado (o número multiplicado por si mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos dizer que o número que procuramos é o 2, pois 22 = 4. Por essa razão, dizemos que a radiciação é a operação inversa à potenciação. Vejamos como representar uma raiz quadrada:

O radical (símbolo em vermelho) indica que se trata de uma radiciação, e o índice caracteriza a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos trabalhando. Em geral, o radicando é o número sobre o qual somos questionados, e a raiz é o resultado.

Nesse exemplo, estamos procurando a raiz quadrada de 4, isto é, queremos saber qual é o número que multiplicado por ele mesmo resulta em quatro. Facilmente podemos concluir que esse número é o 2, pois 22 = 4.

Mas e se por acaso quisermos saber qual é o número que multiplicado por si mesmo 3 vezes resulta em 8? Precisamos então procurar o número que, ao cubo, resulta em 8, isto é:

? 3 = 8

? x ? x ? = 8

Esse exemplo já exige um pouco mais de raciocínio. Mas podemos afirmar que o número que ocupa o lugar dos quadradinhos é o 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Veja que acabamos de trabalhar com uma raiz cúbica, pois o índice da raiz é três. Sua representação é:

3√8 = 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Mas haveria uma forma mais fácil de realizar a radiciação? Sim, há! Através da fatoração, conseguimos encontrar qualquer raiz exata, independentemente do índice. Vejamos alguns exemplos:

1. √64

Precisamos encontrar a raiz quadrada de 64. Atenção: sempre que não aparece um número no índice, trata-se de uma raiz quadrada, cujo índice é 2. Vamos fatorar o radicando 64, isto é, vamos dividi-lo sucessivas vezes pelo menor número primo possível até que cheguemos ao quociente 1:

64 | 2
32 | 2
16 | 2
 8 | 2
 4 | 2
 2 | 2
1| 

Do lado direito, apareceram seis números 2. Ao multiplicá-lo (2x2x2x2x2x2), encontramos o número 64. Então, em vez de escrevermos o 64, podemos colocar essa multiplicação dentro da raiz:

√64

√2x2x2x2x2x2

Como estamos trabalhando como uma raiz quadrada, nós agruparemos os números dentro da raiz de dois em dois, elevando-os ao quadrado:

√22x22x22

Feito isso, aqueles números que possuem o expoente dois podem sair da raiz. Eles saem sem o seu expoente, mas continuam com o símbolo da multiplicação, portanto:

√64 – 2x2x2 – 8

Portanto, a raiz quadrada de 64 é 8.

2. 3√729

Agora estamos trabalhando com uma raiz cúbica, ou uma raiz de índice três. Devemos procurar um número que, multiplicado por si mesmo três vezes, chega ao valor do radicando. Vamos novamente fatorar nosso radicando, dividindo-o sempre pelo menor número primo possível:

729 | 3
243 | 3
 81 | 3
 27 | 3
   9 | 3
   3 | 3
 1 | 

Como estamos lidando com uma raiz de índice 3, nós vamos agrupar os números iguais que apareceram à direita em trios, com expoente 3. Novamente aqueles números que possuem expoente que coincide com o índice do radicando poderão sair da raiz. Vejamos:

3√729

3√3x3x3x3x3x3

3√33x33

3√729 = 3x3 = 9

Portanto, a raiz cúbica de 729 é 9.

3) 4√3125

Nesse exemplo, temos uma raiz quarta. Logo, ao fatorarmos o radicando, deveremos agrupar os números da direita de quatro em quatro. Vejamos:

3125 | 5
  625 | 5
  125 | 5
    25 | 5
      5 | 5
   ?1 |

À direita, apareceram cinco números cinco. Logo, podemos observar que, ao juntarmos grupos de 4, alguém ficará sozinho. Ainda assim, realizaremos esse processo:

4√3125

4√5x5x5x5x5

4√54x5

4√3125 = 54√5

Infelizmente, não conseguimos concluir essa radiciação, dizemos então que ela não é exata.

A fatoração do radicando é um procedimento que nos permite efetuar a radiciação independentemente do índice do radical e até mesmo se a radiciação não possuir raiz exata, como ocorreu no último exemplo. 

Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto: