Como cancelar a raiz quadrada

A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Leia também: Propriedades envolvendo números complexos

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice

Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112  = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

Observações:

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Mapa Mental: Raiz Quadrada

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Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.

Exercícios resolvidos

1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100.

Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100

2. Determine a raiz quadrada do número 1024.

√1024

Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos:

1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22

Então,

 Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas.

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

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Radical é o símbolo utilizado para indicar o cálculo de raízes. Quando falamos em simplificação de radicais, referimo-nos à utilização de algumas das propriedades das raízes para facilitar os cálculos que os envolvem.

As simplificações discutidas aqui serão divididas em alguns casos que serão expostos da seguinte maneira: primeiro, a propriedade dos radicias que permite a simplificação e, depois, um exemplo. Observe:

Caso 1 – Expoente e índice múltiplos

Quando os radicais apresentarem índices múltiplos do expoente do radicando (ou vice-versa), a seguinte propriedade dos radicais poderá ser utilizada:

Essa propriedade garante que índice e expoente podem ser multiplicados ou divididos por um número qualquer sem mudar o valor da raiz.

Exemplo:

Note que o número pelo qual o índice e o expoente do radicando foram divididos é 3.

Caso 2 – Utilizando fatoração

Para simplificar alguns radicais, basta reescrever o radicando como produto de fatores primos. Para tanto, fatore o radicando e observe o índice do radical. Supondo que esse índice seja 3, reagrupe os fatores primos encontrados em potências de expoente 3. Depois, basta utilizar a seguinte propriedade:

Esse caso é útil para simplificar radicais como os do exemplo a seguir:

Como x7 = x2·x2·x2·x, substitua o radicando por esse resultado e utilize a propriedade descrita acima.

Caso 3 – Raízes de frações

Quando for necessário simplificar uma raiz de algum número na forma de fração, utilize a seguinte propriedade:

Após cumprir esse passo, basta seguir com a simplificação de raízes para o numerador e para o denominador separadamente.

Caso 4 – Racionalização

Quando aparecem radicais no denominador, é necessário fazer a racionalização deles para prosseguir com a simplificação. Racionalização é o processo feito para criar frações equivalentes em que os radicais estejam apenas no numerador.

Para racionalizar uma fração, multiplique numerador e denominador pelo radical presente no denominador. Observe o exemplo:

Repare no exemplo acima que a fração com radical no denominador foi simplificada e o resultado é apenas raiz de 3.