A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado. Show
O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los? Tentativa e erroAlgumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo: Qual a raiz quadrada de v196? Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo: 11 * 11 = 121 12 * 12 = 144 13 * 13 = 169 14 * 14 = 196 É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros. Cálculo por fatoraçãoA fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração: Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja: Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja: Veja outro exemplo com v1225: Desmembrando o número temos: Raiz quadrada não exataQuando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo: Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo: 7,1 * 7,1 = 50,41 7,2 * 7,2 = 51,84 7,3 * 7,3 = 53,29 7,4 * 7,4 = 54,76 O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54. Veja outro exemplo: Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas: 14,1 * 14,1 = 198,81 14,2 * 14,2 = 201,64 14,3 * 14,3 = 204,49 14,4 * 14,4 = 207,36 14,5 * 14,5 = 210,25 14,6 * 14,6 = 213,16 14,7 * 14,7 = 216,09 14,8 * 14,8 = 219,04 Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja: 14,71 * 14,71 = 216,38 14,72 * 14, 72 = 216,67 14,73 * 14,73 = 216,97 14,74 * 14,74 = 217,26 14,75 * 14,75 = 217,56 14,76 * 14,76 = 217,85 14,77 * 14,77 = 218,15 Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76. O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular. Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões: Como calcular probabilidades? Como calcular porcentagem de forma fácil? Como calcular seno, cosseno e tangente? Conheça o Coach COC e organize seus estudos!O aplicativo Coach COC é o seu novo parceiro para os estudos! Ele vai te ajudar a organizar sua rotina e planejar seu dia a dia. Acesse a página do app e baixe agora mesmo!
A raiz quadrada de cinco , observada √ 5 ou 5 1/2 , é um número real notável em matemática e é aproximadamente igual a 2,236. É um irracional quadrático e um inteiro quadrático . Elementos introdutóriosDefinição, notação e pronúncia
Valor aproximado√ 5 é aproximadamente Fração contínuaA fração contínua de desenvolvimento de √ 5 é [2, 4 ] (continuação A040002 de OEIS ). As sucessivas reduções são, portanto, 21,94,3817,682305,28891292...{\ displaystyle {\ frac {2} {1}}, {\ frac {9} {4}}, {\ frac {38} {17}}, {\ frac {682} {305}}, {\ frac {2889} {1292}} \ ldots} Cálculo de um valor aproximadoMétodos geraisAproximação pelo método de HeronO método de Heron pode calcular o valor aproximado de uma raiz quadrada com alta precisão e poucos cálculos; é aplicável à raiz quadrada de 5. Considere a parte inteira de √ 5 , x 0 = 2 . O método de Heron consiste em calcular os termos sucessivos de uma sequência próxima de √ 5 pela fórmula de recorrência: xnão+1=xnão+NOxnão2.{\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n} + {\ frac {A} {x_ {n}}}} {2}}.}com aqui, A = 5 . Por iterações sucessivas, obtemos:
Método específicoSequência de FibonacciA seguinte fórmula, inicialmente demonstrada por Paul Erdős , relaciona - se aos inversos dos termos da sequência de Fibonacci cujo índice é uma potência de 2: 5{\ displaystyle {\ sqrt {5}}} ∑k=0∞1F2k=7-52{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} = {\ frac {7 - {\ sqrt {5}}} {2 }}}Isso dá a fórmula que converge rapidamente, já que as 6 primeiras palavras fornecem 13 decimais corretos e a 7ª fornece 13 decimais seguintes. 5=7-2(∑k=0∞1F2k){\ displaystyle {\ sqrt {5}} = 7-2 \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} \ right) } Link com a proporção áureaA raiz quadrada de 5 é usada na expressão da proporção áurea φ=1+52.{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}.} Então encontramos5=2φ-1et5=φ+1φ.{\ displaystyle {\ sqrt {5}} = 2 \ varphi -1 \ quad {\ rm {e}} \ quad {\ sqrt {5}} = \ varphi + {\ frac {1} {\ varphi}}. } Prova de irracionalidadeSuponha que √ 5 seja racional e escreva-o na forma de uma fração irredutível m / n (ou seja, m e n são coprimos : mdc ( m , n ) = 1). A hipótese √ 5 = m / n leva a 5 n 2 = m 2 . Então, 5 divide m 2 , então divide m de acordo com o Lema de Euclides . Podemos escrever m = 5 r , ou 5 n 2 = (5 r ) 2 = 25 r 2 , n 2 = 5 r 2 ou 5 divide n . Isso nos leva a um absurdo, pois GCD ( m , n ) é então divisível por 5, contraditoriamente com a suposição GCD ( m , n ) = 1. TrigonometriaComo √ 2 e √ 3 , a raiz quadrada de 5 está presente nas fórmulas para constantes trigonométricas exatas, incluindo ângulos em graus divisíveis por 3, mas não por 15. Os mais simples são: pecadoπ10=pecado18∘=14(-1+5),{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {10}} = \ sin 18 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} \ left (-1 + {\ sqrt {5}} \ direito),} pecadoπ5=pecado36∘=142(5-5),{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {5}} = \ sin 36 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 - {\ sqrt {5} })}},} pecado3π10=pecado54∘=14(1+5),{\ displaystyle \ sin {\ frac {3 \ pi} {10}} = \ sin 54 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}),} pecado2π5=pecado72∘=142(5+5).{\ displaystyle \ sin {\ frac {2 \ pi} {5}} = \ sin 72 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 + {\ sqrt {5 }})}}.}Fórmulas RamanujanA raiz quadrada de 5 está presente em várias fórmulas fornecidas por Srinivasa Ramanujan envolvendo frações contínuas generalizadas : 1∣∣1+e-2π∣∣1+e-4π∣∣1+e-6π∣∣1+⋯=(5+52-5+12)e2π/5=e2π/5(φ5-φ).{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac { {\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 6 \ pi} \ mid} {\ mid 1} } + \ cdots = \ left ({\ sqrt {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {2}}} - {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ direita) {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / 5} = {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / 5} \ esquerda ({\ sqrt {\ varphi {\ sqrt {5}}} } - \ varphi \ right).} 1∣∣1+e-2π5∣∣1+e-4π5∣∣1+e-6π5∣∣1+⋯=(51+[53/4(φ-1)5/2-1]1/5-φ)e2π/5.{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {-6 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots = \ left ({{\ sqrt {5}} \ over 1+ \ left [5 ^ {3/4 } (\ varphi -1) ^ {5/2} -1 \ right] ^ {1/5}} - \ varphi \ right) {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / {\ sqrt {5} }}.} 4∫0∞xe-x5coshxdx=1∣∣1+12∣∣1+12∣∣1+22∣∣1+22∣∣1+32∣∣1+32∣∣1+⋯.{\ displaystyle 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x {\ rm {e}} ^ {- x {\ sqrt {5}}}} {\ cosh x}} \, {\ rm {d}} x = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}Artigos relacionadosNotas e referênciasNotas
Referências
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