Seno, cosseno e tangente exercícios com respostas

Selecionamos uma lista com questões resolvidas e comentadas sobre Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo (Seno, Cosseno e Tangente) para você que está se preparando para o ENEM, vestibulares ou Concursos Públicos. 

Para te ajudar nos estudos, desenvolvemos uma tabela.  Aproveite e confira antes de ir para os exercícios resolvidos.

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Questão 2 - (Aprendizes Marinheiros - Marinha - 2014) Uma pipa ficou presa em um galho de uma árvore e seu fio ficou esticado formando um ângulo de 60º com o solo.  Sabendo que o comprimento do fio é de 50 metros, a que altura, aproximadamente, do solo encontrava-se a pipa?

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Questão 3 - (ENEM 2017) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica a figura.

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Questão 4 - (ESA 2019) Em um triângulo equilátero ABC inscreve-se um quadrado MNOP de área 3 m².  Sabe-se que o lado MN está contido em AC, o ponto P pertence a AB e o ponto O pertence a BC.  Nessas condições, a área em m² do triângulo ABC mede:

Questão 5 - (UNICAMP - 2020)  A figura abaixo exibe o triângulo 𝐴𝐵𝐶, em que AB = BC e  AD é uma altura de comprimento ℎ. A área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual a

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Questão 6 - (EPCAR 2020)  À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura desprezível, com raio de 3 m, estacionado paralelamente ao solo a 30 m de altura.

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Questão 7 - (UNICAMP - 2020) A figura abaixo exibe o triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶, em que AB = AM = MC. Então, tg 𝜃 é igual a

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Questão 8 - (Vestibular Fuvest 2020) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa‐se θ ,a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando θ = 90º é A.

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2, o valor de θ é, necessariamente, igual a

(A) 15º

(B) 22,5º

(C) 30º

(D) 45º

(E) 60º

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Questão 9 - (EPCAR 2021)  No retângulo EPCR da figura a seguir, PC = 6cm, RA = 3cm e AC = 5cm

O valor de sen a + cos a é 

a) (3√5)/5

b) (4√5)/5

c) (2√5)/5

d) (√5)/5

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Questão 10 - (Vunesp 2020) Uma das finalidades da Ciência Forense é auxiliar nas investigações relativas à justiça civil ou criminal. Observe uma ideia que pode ser empregada na análise de uma cena de crime.

Uma gota de sangue que cai perfeitamente na vertical, formando um ângulo de 90º com a horizontal, deixa uma mancha redonda. À medida que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, a mancha fica cada vez mais longa.

As ilustrações mostram o alongamento da gota de sangue e a relação trigonométrica envolvendo o ângulo de impacto e suas dimensões.

De acordo com as informações, o ângulo de impacto da gota de sangue coletada na amostra foi de 

(A) 37º (B) 74º (C) 59º (D) 53º (E) 31º

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Questão 11 - (Colégio Naval 2018) Analise a figura a seguir.

Essa figura representa o paralelogramo ABCD, cujas medidas dos lados são AB=CD=3cm, BC=AD=4cm e Â=60º.  Do vértice D traça-se a altura DH relativa ao lado AB, que encontra a diagonal AC no ponto I.  Determine, em cm,  a medida DI e marque a opção correta.

a) (6√3)/5   b) 7/3  c)  (5√3)/3  d)  9/5   e) (2√5)/3

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Questão 12 - (Fuvest 2019) Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia‐se sobre uma linha  horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.

Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2 ), qual é o comprimento da trajetória  percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente?

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Trigonometria é o estudo das relações entre ângulos e lados de um triângulo. Para um triângulo retângulo definimos as razões: seno, cosseno e tangente.

As razões são úteis para resolver problemas onde precisamos descobrir um lado e conhecer a medida de um ângulo, além do ângulo reto e um dos seus lados.

Exercícios sobre seno, cosseno e tangente de ângulos podem ser resolvidos aplicando os ângulos notáveis.

Exercício 1

Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1.000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é:

Resposta

Interpretando a situação descrita no problema, temos a seguinte imagem que ilustra a situação em que a altura atingida pelo avião é dada por x:

Utilizando a fórmula para o cálculo do seno, temos:

Portanto, o avião atingiu 500 m de altura.

Exercício 2

Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:

a) Através do cosseno de 30°, temos:

b) Através do seno de y:

c) Pelo seno de 60°:

d) Através do cosseno de 45°:

Exercício 3

A figura abaixo representa um avião que decolou sob um ângulo constante de 40º e percorreu em linha reta 8000 m. Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao percorrer essa distância?

Considere:

sen 40º = 0,64cos 40º = 0,77

tg 40º = 0,84

Resposta

Notamos que o triângulo indicado é retângulo e a distância percorrida representa a medida da hipotenusa deste triângulo e a altura do cateto oposto ao ângulo dado.

Portanto, usaremos o seno do ângulo para encontrar a medida da altura:

Assim, ao percorrer 8 000 m, o avião se encontra a 5 120 m de altura.

Exercício 4

Uma escada que mede 6m está apoiada em uma parede. Sabendo-se que ela forma com o solo um ângulo α e que

a distância de seu ponto de apoio no solo até a parede, em metros, é:

Resposta

Podemos ilustrar a situação descrita pelo enunciado do problema com a seguinte figura:

Utilizando a fórmula para o cálculo do cosseno, temos:

A distância do ponto de apoio até a parede é de aproximadamente 2√5 metros.

Exercício 5

Determine os ângulos agudos de um triângulo retângulo de catetos que medem √3 cm e 1 cm.

Resposta

Sejam os ângulos procurados a e b, temos então:

Os ângulos agudos procurados são 30° e 60°.

Exercício 6

Quando o Sol se encontra a 45º acima do horizonte, uma árvore projeta sua sombra no chão com o comprimento de 15 m. Determine a altura dessa árvore:

Resposta

Para entender melhor a questão, é adequado tentar visualizar a situação do exercício. No desenho abaixo, o segmento de reta amarelo representa um raio solar que é o responsável por originar a sombra da árvore.

Há um ângulo de 45° com o solo, e o comprimento da sombra é a base do triângulo. Pela tabela trigonométrica dos ângulos notáveis, verificamos que a tangente de 45° é 1. Utilizando a fórmula da tangente, temos:

Portanto, a altura dessa árvore é de 15 metros. 

Exercício 7

Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

a) 6√3 m.

b) 12 m.

c) 13,6 m.

d) 9√3 m.

e) 18 m.

Resposta

Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada:

Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 30°). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno:

Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e.

Exercício 8

Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:

a) 2√3

b) √3
     3

c) √3
     6

d) √20
     20

e) 3√3

Resposta

Exercício 9

Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu construir uma maquete de uma casa, conforme esquema abaixo. O telhado será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, que será dividida ao meio para fazer as duas partes do telhado. Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 55º, calcule a medida x da largura casa.

Considere:

sen 55º = 0,82cos 55º = 0,57

tg 55º = 1,43

Resposta

Como o telhado da maquete será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, ao dividir a placa ao meio, a medida de cada lado do telhado será igual a 0,5 m.

O ângulo de 55º é o ângulo formado entre a reta que representa o telhado e uma reta na direção horizontal. Se unirmos essas retas, formamos um triângulo isósceles (dois lados de mesma medida).

Vamos então traçar a altura deste triângulo. Como o triângulo é isósceles, essa altura divide a sua base em segmentos de mesma medida que chamamos de y, conforme figura abaixo:

A medida y será igual a metade da medida de x, que corresponde a largura da casa.

Desta forma, temos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e procuramos a medida de y, que é o cateto adjacente ao ângulo dado.

Assim, podemos usar o cosseno de 55º para calcular esse valor:

Como a largura da casa é igual a duas vezes essa medida, então temos:

largura da casa = 2. 0,285 = 0,57

Assim, a maquete da casa terá uma largura de 0,57 m ou 57 cm.

Exercício 10

Um menino avista o ponto mais alto de um morro, conforme figura abaixo. Considerando que ele está a uma distância de 500 m da base do morro, calcule a altura (h) deste ponto.

Considere:

sen 20º = 0,34cos 20º = 0,93

tg 20º = 0,36

Resposta

Observando o desenho, notamos que o ângulo visual é de 20º. Para calcular a altura do morro, iremos usar as relações do seguinte triângulo:

Como o triângulo é retângulo, iremos calcular a medida x usando a razão trigonométrica tangente.

Escolhemos essa razão, visto que conhecemos o valor do ângulo do cateto adjacente e estamos procurando a medida do cateto oposto (x).

Assim, teremos:

Como o menino tem 1,30 m, a altura do morro será encontrada somando-se este valor ao valor encontrado para x. Assim, teremos:

h = 180 + 1,3 =181,3

Logo, a altura do morro será igual a 181,3 m.

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