Sabendo que a sequência é uma progressão geométrica, determine o número de elementos que ela possui.

PG ou progressão geométrica é uma sequência numérica onde os termos a partir do segundo são obtidos multiplicados por uma constante q que chamamos de razão.

Para encontrarmos a razão de uma PG basta dividirmos um número pelo seu antecessor.

Exemplos de progressão geométrica

Considere as seguintes sequências geométricas:

• (1, 2, 4, 8, 16, …) é uma P.G. crescente, com razão q = 2.
• (5, 25, 125, 625, …) crescente, com razão q = 5.
• (40, 20, 10, 5, 5⁄2, …) decrescente, com razão q = 1⁄2.
• (2, -4, 8, -16, 32, …) oscilante, com razão q = -2.

Tipos de progressão geométrica

• Crescente: onde cada termo da PG é maior que seu antecessor.

  Exemplo:

  • (1, 3, 9, 27, …) com q = 3
  • (-2, -1, –1⁄2, –1⁄4, …) com q = 1⁄2
• Decrescente: onde cada termo da P.G. é menor que seu antecessor. Exemplo:
  • (-1, -4, -16, -64, …) com q = 4
  • (2, 1, 1⁄2, 1⁄4, 1⁄8, …) com q = 1⁄2
• Constante: quando o próximo termo, a partir do segundo, é uma sequência de números iguais, isso acontece quando q = 1.

  Exemplo:

  • (2, 2, 2, 2, 2, …) com q = 1
• Oscilante: quando o próximo termo, a partir do segundo, é um número negativo. Isto acontece quando a razão é negativa, ou seja, q < 0.

  Exemplo:

  • (2, -4, 8, -16, 32, -64, …) com q = -2

Termo geral de uma PG

Podemos encontrar qualquer termo geral de uma PG ou o total de termos da seguinte forma:

Seja a PG com razão q a seguir:

A partir da sequência acima sabemos que:

• a2 = a1 . q
• a3 = a2 . q
• a4 = a3 . q
• a5 = a4 . q
• …
• an = an-1 . q

Se multiplicarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:

(a2 . a3 . a3 . … . an-1) . an = a1 . (a2 . a3 . … an-1) . q . q . q . … + q ((n – 1) vezes)

Após simplificarmos os termos, chegamos a fórmula:

Onde:

• an: é o termo geral da PG;
• a1: é o primeiro termo;
• n: é o número de termos ou o total de termos;
• q: é a razão.

Exemplo:

1. Determine o 5º (quinto) termo de uma PG sabendo que a1 = 3 e q = 4.

   Para isso vamos utilizar a fórmula geral. Veja!

   Conforme o enunciado temos que: a1 = 3, q = 4 e n = 5

   Assim:

   a5 = 3 x 4(5 – 1)

   a5 = 3 x 44

   a5 = 3 x 256

   a5 = 768

   Vamos conferir: 3, 12, 48, 192, 768, … Correto!

Soma dos n termos de uma PG finita

Podemos encontrar a soma dos n os termos de uma progressão geométrica a partir da fórmula geral.

Exemplo:

Considere a PG: (2, 6, 18, …), calcule os 5 primeiros termos.

Temos que a1 = 2, q = 3 e n = 5

Logo,

Soma dos infinitos termos de uma PG

É possível somar os termos de uma progressão geométrica infinita. Podemos fazer isso quando os termos de uma PG acabe convergindo para o valor 1. Isso ocorre quando a razão q for um número entre -1 e 1.

Logo, quando n tende ao infinito, temos a seguinte fórmula para a soma dos infinitos termos:

Exemplo:

Calcule o valor para x = 1 + 1⁄3 + 1⁄9 + …

O valor de x é a soma dos infinitos termos da PG: (1 + 1⁄3 + 1⁄9 + …)

Assim:

a1 = 1 e q = 1⁄3

Produto dos n termos de uma PG

Também é possível fazer o produto dos n termos de uma PG, para isso a seguinte fórmula pode ser usada:

Onde:

• Pn: é o produto dos n termos;
• n: é o número total de termos;
• a1: é o primeiro termo.

Propriedade

• Cada termo de uma PG, a partir do segundo, é a média geométrica entre o sucessor e antecessor. Então, seja a PG (a, b, c, …), temos que: b² = a.c

Exercícios

Pratique os exercícios acessando o link a seguir:

Bons estudos!

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Razão e Proporção