Reta tangente à circunferência exercícios resolvidos 9 Ano

Existem três possibilidades para a posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência. Partindo da análise desta posição, podemos encontrar a equação da reta que tangencia uma determinada circunferência, que contém este ponto analisado. Este estudo quanto à posição relativa dos pontos em relação à circunferência pode ser visto no artigo Posições Relativas De Duas Retas. Sendo assim, comentaremos sobre cada posição relativa e sua respectiva consequência em relação à reta tangente. Seja P o ponto que iremos analisar:

• P interno à circunferência, implica dizer que não é possível esboçar uma reta tangente. • P sendo um ponto da circunferência. Neste caso o ponto P é o ponto de tangência e com isso será possível esboçar apenas uma reta tangente.

• P externo à circunferência. Podemos esboçar duas retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto P.

Para encontrarmos a equação da reta tangente, iremos utilizar a expressão da distância do centro da circunferência até a reta tangente, distância esta que deve ser igual a r. Veremos então alguns exemplos que necessitam dessa análise e dos cálculos que devem ser realizados para encontrarmos a equação da reta tangente.

Determine as equações das retas tangentes à circunferência λ: x²+y²=1, traçadas pelo ponto P (√3, 0).

Sendo P um ponto externo, sabemos que por este ponto podemos traçar duas retas tangentes à circunferência. Neste momento vamos determinar a equação geral da reta tangente.

Para isso, precisamos partir das informações que temos a respeito desta reta, que é somente o ponto que ela passa P (3,0):

Note que precisamos determinar o valor do coeficiente angular (m) para obtermos a equação da reta tangente. Para isso, utilizaremos a expressão da distância do centro até a reta tangente:

Basta substituirmos na equação da reta tangente o valor de m, que iremos obter as duas retas tangentes:

Como vimos, encontramos duas equações de reta, que representam duas retas tangentes que passam pelo ponto P(√3,0) e tangenciam a circunferência λ: x2+y2=1.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática

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No estudo sobre as circunferências, um conceito importante a ser estudo é o das retas tangentes a uma circunferência. Para realizarmos esse estudo, é necessário compreender as posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência. Caso você não tenha estudado algo relacionado a esse tema, confira o artigo Posições relativas entre um ponto e uma circunferência.

Observando a posição de um ponto em relação a uma circunferência, podemos concluir alguns fatos relacionados às retas tangentes. Sabe-se que existem três posições relativas de um ponto a uma circunferência. Para cada posição desta, podemos concluir algo sobre a reta tangente que passa por esse ponto. • Ponto interno à circunferência: não é possível traçar uma reta tangente por esse ponto. • Ponto pertencente à circunferência: por esse ponto podemos ter apenas uma reta tangente, pois ele é o ponto de tangência. • Ponto externo à circunferência: por esse ponto podemos traçar duas retas tangentes à circunferência. Portanto, para determinar a equação da reta tangente a uma circunferência por um determinado ponto, precisamos necessariamente determinar a posição relativa desse ponto. Posição esta que depende da distância do ponto ao centro da circunferência. Devemos relembrar alguns fatos importantes acerca da geometria analítica: • A menor distância de um ponto a uma reta é um segmento perpendicular a esta reta; • A reta tangente sempre será perpendicular ao raio no seu ponto de tangência. Relacionando os dois fatos anteriores, pode-se afirmar que a distância da reta tangente ao centro deverá ser igual ao raio. Portanto, para determinar a equação da reta tangente, devemos analisar a posição do ponto que traçaremos à reta e com isso calcular a distância da reta que contém esse ponto em relação ao centro da circunferência.

Para a melhor compreensão de todos esses conceitos, trabalharemos com exemplos que necessitam dessas reflexões.
 

1) Determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) à circunferência dada, traçada pelo ponto P.
     a) eq. circunferência: x2+ y2 - 6x - 8y = 0    P (0,0)

Com isso, podemos extrair as informações necessárias para o nosso problema:
C(3,4), r=5.

Devemos agora encontrar a posição relativa do ponto P (0,0):

Portanto, o ponto P é o ponto de tangência.

Vamos determinar a equação da reta que passa pelo ponto P.

Para determinarmos de fato a equação da reta, nos falta descobrir qual é o coeficiente angular dessa reta. Um dos fatos que vimos no início desse artigo foi quanto à perpendicularidade da reta tangente ao raio da circunferência. O ponto P é um ponto de tangência, então o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto P e o centro deverá ser perpendicular à reta tangente. Para isso, temos uma relação entre coeficientes angulares perpendiculares.

Em outras palavras, o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é igual a -1.

Para determinar o coeficiente angular do segmento PC, devemos utilizar a seguinte expressão:

Com isso, obtemos a equação da reta tangente:

Uma outra forma para determinar o valor de m seria calculando a distância do centro à reta. Essa distância é igual ao raio. Vejamos:

Quando o ponto for externo à circunferência, deveremos encontrar o ponto de tangência utilizando a distância do centro da circunferência até a reta tangente, pois, assim, iremos determinar o valor do coeficiente angular da reta tangente, que, por sua vez, determinará a equação da reta tangente.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola