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1 Geometria Espacial - Poliedros 1) (UFPE) Unindo-se o centro de cada face de um cubo, por segmentos de reta, aos centros das faces adjacentes, obtém-se as arestas de um poliedro regular. Quantas faces tem esse poliedro? 2) (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a: a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 44 3) (UFC) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vértices, então, o número de faces triangulares é: a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 4) (UFPE) Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro. 5) (PUC-PR) Um poliedro convexo é constituído de x faces quadrangulares e 4 faces triangulares. Se o número de arestas do poliedro é 16, qual o número de vértices? a) 5 b) 8 c) 9 d) 12 e) 4 6) (PUC-PR) Um poliedro convexo é constituído de x faces quadrangulares e 4 faces triangulares. Se o número de arestas do poliedro é 16, qual o número de vértices? a) 5 b) 8 c) 9 d) 12 e) 4 7) (ITA) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Selecionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então: a) m = 9, n = 7 b) m = n = 9 c) m = 8, n = 10 d) m = 10, n = 8 e) m = 7, n = 9 8) (Fuvest) Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices e 9 arestas? Desenhe um poliedro que satisfaça essas condições. 9) (UEL) Para explicar a natureza do mundo, Platão “[...] apresenta a teoria segundo a qual os ‘quatro elementos’ admitidos como constituintes do mundo - o fogo, o ar, a água e a terra - [...] devem ter a forma de sólidos regulares. [...] Para não deixar de fora um sólido regular, atribuiu ao dodecaedro a representação da forma de todo o universo.” (DEVLIN, Keith. Matemática: a ciência dos padrões. Porto: Porto Editora, 2002. p.119.) As figuras a seguir representam esses sólidos geométricos, que são chamados de poliedros regulares. Um poliedro é um sólido limitado por polígonos. Cada poliedro tem um certo número de polígonos em torno de cada vértice. Uma das figuras anteriores representa um octaedro. A soma das medidas dos ângulos em torno de cada vértice desse octaedro é: a) 180º b) 240º c) 270º d) 300º e) 324º 10) (UERJ) O poliedro acima, com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um dado, em um jogo. Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada. Calcule: 2 a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez; b) o número de vértices do poliedro. 11) (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas. 12) (Unitau) Indique quantas faces possuem, respectivamente, nessa ordem, os sólidos numerados como I, II, III e IV a seguir: a) 8, 6, 5, 6. b) 8, 6, 6, 5. c) 8, 5, 6, 6. d) 5, 8, 6, 6. e) 6, 18, 6, 5. 13) (IME) Determine os números naturais n para os quais existam poliedros convexos de n arestas. 14) (Mack) Considere uma pirâmide cuja base é um polígono convexo. Se a soma das medidas dos ângulos internos de todas as suas faces é 3600º, o número de lados da base dessa pirâmide é igual a: a) 11 b) 12 c) 9 d) 10 e) 8 15) (ITA) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200º. O número de vértices deste prisma é igual a a) 11. b) 32. c) 10. d) 20. e) 22. 16) (Cesgranrio) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 180 b) 360 c) 540 d) 720 e) 900 17) (UFPE) Calcule a oitava potência do comprimento, em m, da aresta de um icosaedro regular, sabendo-se que sua área mede 15m2. 18) (Mack) A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é 18 rad. Então o número de lados do polígono da base da pirâmide é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 19) (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces vale 3 2 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale. a) 6. b) 4. c) 5. d) 12. e) 9. 20) (UECE) A soma do número de faces, com o número de arestas e com o número de vértices de um cubo é: a) 18 b) 20 c) 24 d) 26 3 Gabarito 1) Resposta: Octaedro - 8 faces 2) Alternativa: A 3) Alternativa: E 4) Resposta: 21 vértices. 5) Alternativa: C 6) Alternativa: A 7) Alternativa: B 8) F = 5. Por exemplo, um prisma triangular: 9) Alternativa: B 10) a) Primos A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} Múltiplos de 5 B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} P(AUB) = 2 1 30 15 b) 60A2A4F faces nº F arestas nº A V = nº de vértices 32 V2AFV 11) Alternativa: E 12) Alternativa: A 13) Resposta: n 6 14) Alternativa: A 15) Alternativa: E 16) Alternativa: D 17) Resposta: 9 (lembre-se que um icosaedro regular é formado por 20 triângulos eqüiláteros) 18) Alternativa: C 19) Alternativa: B 20) Alternativa: D