O cálculo de áreas na geometria está presente em diversas situações cotidianas. As unidades mais utilizadas na especificação de áreas são o metro quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²) e o centímetro quadrado (cm²). Determinar a área de uma figura significa medir o tamanho de sua superfície, utilizando as medidas de suas dimensões: comprimento e largura.
Na geometria, cada figura regular está associada a uma expressão matemática capaz de determinar a medida de sua superfície. Mas em alguns casos, a determinação da área deve ser calculada utilizando duas ou mais expressões. Esse tipo de cálculo exige uma interpretação espacial da figura, diagnosticando o tipo de expressão que será usado no cálculo da área.
Exemplo 1
Determine a área destacada da figura, considerando que o raio da circunferência inscrita no quadrado seja igual a 4 metros.
Resolução
Área do quadrado é dada pela expressão: A = l²
Área da circunferência é dada pela expressão: A = π*r²
O raio da circunferência é igual a 4 metros, dessa forma seu diâmetro vale 8. A medida do lado do quadrado será correspondente ao diâmetro da circunferência, medindo 8 metros.
Área do quadrado
A = l²
A = 8²
A = 64 m²
Área da circunferência
A = π*r²
A = 3,14 * 4²
A = 3,14 * 16
A = 50,24 m²
A área da parte destacada é resultante da subtração entre a área do quadrado e a área da circunferência.
A = 64 – 50,24
A = 13,76 m²
Portanto, a área destacada é igual a 13,76 metros quadrados.
Exemplo 2
A figura a seguir representa uma peça de cerâmica para revestimento de pisos. Sabemos que a medida do raio de cada circunferência é igual a 10 cm. Determine a área em negrito, após o revestimento de uma sala retangular de dimensões 8m x 12m.
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Área em negrito da cerâmica
Sabemos que o raio de cada circunferência mede 10 cm, portanto o diâmetro de cada circunferência medirá 20 cm. Existe uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro da circunferência, observe ilustração:
Para determinarmos a área em negrito da cerâmica devemos calcular a área do quadrado e subtrair das áreas das circunferências.
Área do quadrado (cerâmica)
A = l²
A = 40²
A = 1600 cm²
Área das circunferências
A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 cm²
314 * 4 = 1256 cm²
Área em negrito da cerâmica:
A = 1600 – 1256
A = 344 cm²
Precisamos calcular a área da sala revestida pela cerâmica, veja:
Área da sala = 12 x 8 = 96 m²
Cada cerâmica possui 1600 cm² de área, precisamos saber quantas peças serão gastas no
piso da sala. Para isso precisamos dividir a área da sala pela área da cerâmica. Antes da divisão precisamos igualar as unidades de área, 1600 cm² é igual a 0,16 m². Portanto,
96 : 0,16 ~ 600 peças.
Agora basta multiplicarmos a área em negrito da cerâmica pelo número de peças que serão gastas no revestimento da sala.
600 * 344 = 206 400 cm² ou 20,64 m²
Portanto, após revestida a sala, a área em negrito corresponderá a 20,64 m².
Relações métricas em um quadrado inscrito são aquelas encontradas entre as medidas de seus lados, ângulos e outros elementos. Dizemos que um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices. A imagem a seguir mostra um quadrado ABCD de lado l inscrito em uma circunferência de raio r.
Nesse caso, o centro da circunferência e seu raio são chamados, respectivamente, de centro do polígono e raio do polígono.
Assim, as relações métricas do quadrado inscrito podem depender da circunferência que contém seus lados.
1ª Relação: Os vértices consecutivos do quadrado inscrito determinam ângulos centrais retos.
Existe uma propriedade que garante que as diagonais de um quadrado são congruentes e encontram-se em seus pontos médios. Sendo assim, a distância entre o ponto de encontro das diagonais O e a circunferência é a mesma. Logo, podemos presumir que o centro do quadrado também é o centro da circunferência, como mostra a figura a seguir:
Além disso, existe outra propriedade que garante que as diagonais do quadrado são perpendiculares. Assim, o ângulo entre elas é reto. Logo, ângulos centrais no quadrado inscrito são retos.
2ª Relação: É possível calcular o lado do quadrado inscrito usando a fórmula:
l = r√2
Para mostrar isso, usaremos o triângulo APO, cujos lados são o apótema OP relativo ao lado AD, o raio OA e o lado PA, formado a partir da construção do apótema. A imagem a seguir destaca esse triângulo a fim de facilitar a compreensão do problema.
Observe que o triângulo AOP é retângulo em P e que a medida de PA é metade do lado do quadrado. Isso acontece porque o apótema é altura do triângulo AOD, que, por sua vez, é isósceles. A altura de um triângulo isósceles também é mediana de sua base.
Além disso, note também que o apótema OP e o segmento PA têm o mesmo comprimento. Isso faz com que o triângulo AOP também seja isósceles, fazendo com que os ângulos de sua base sejam iguais. Como o ângulo P é reto, os outros dois ângulos medem 45° cada.
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Com isso, temos todas as medidas necessárias para calcular o lado do quadrado. Para facilitar a compreensão, a figura a seguir destaca o triângulo AOP com todas as medidas descritas acima.
Para encontrar a medida l do lado do quadrado, podemos usar o cosseno:
cos45° =
l/2
r
Substituindo o valor do cosseno e realizando a divisão de frações do segundo membro, temos:
√2 = l · 1
2 2 r
√2 = l
r
l = r√2
Então, o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r é obtido multiplicando r pela raiz de 2.
3ª Relação: É possível encontrar a medida do apótema do quadrado inscrito usando a fórmula:
x = r√2
2
Para mostrar isso, podemos usar quase todo o desenvolvimento da relação anterior. Apenas modificando cosseno de 45° para o seno de 45°. Toda a construção do triângulo AOP (na imagem abaixo) será exatamente igual à construção do triângulo AOP na relação métrica anterior.
Sabendo disso, calcule:
sen45° = x
r
√2 = x
2 r
r√2 = x
2
x = r√2
2
Exemplo:
Calcule o apótema e o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio 10 cm.
Solução: Para calcular o lado, basta usar a primeira fórmula, substituindo r por 10:
l = r√2
l = 10√2
l = 10·1,41
O lado do quadrado mede aproximadamente 14,1 cm.
Já o apótema é obtido por meio da expressão a seguir, na qual é suficiente substituir a medida do raio:
x = r√2
2
x = 10√2
2
x = 5√2
x = 7,05 aproximadamente