Quantos números naturais de 5 podem ser escritos com os dígitos 3 4 6 8 é 9?

Os Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} são números inteiros positivos (não-negativos) que se agrupam num conjunto chamado de N, composto de um número ilimitado de elementos. Se um número é inteiro e positivo, podemos dizer que é um número natural.

Quando o zero não faz parte do conjunto, é representado com um asterisco ao lado da letra N e, nesse caso, esse conjunto é denominado de Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}.

• Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, 8...}
• Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9...}

O conjunto de números naturais é infinito. Todos possuem um antecessor (número anterior) e um sucessor (número posterior), exceto o número zero (0). Assim:

• o antecessor de 1 é 0 e seu sucessor é o 2;
• o antecessor de 2 é 1 e seu sucessor é o 3;
• o antecessor de 3 é 2 e seu sucessor é o 4;
• o antecessor de 4 é 3 e seu sucessor é o 5.

Cada elemento é igual ao número antecessor mais um, exceptuando-se o zero. Assim, podemos notar que:

• o número 1 é igual ao anterior (0) + 1 = 1;
• o número 2 é igual ao anterior (1) + 1 = 2;
• o número 3 é igual ao anterior (2) + 1 = 3;
• o número 4 é igual ao anterior (3) + 1 = 4.

A função dos números naturais é contar e ordenar. Nesse sentido, vale lembrar que os homens, antes de inventarem os números, tinham muita dificuldade em realizar a contagem e ordenação das coisas.

De acordo com a história, essa necessidade começou com a dificuldade apresentada pelos pastores dos rebanhos em contarem suas ovelhas.

Assim, alguns povos antigos, desde os egípcios, babilônios, utilizaram diversos métodos, desde acumular pedrinhas ou marcar as ovelhas.

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Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio )

Quantos números de cinco algarismos têm no mínimo um algarismo repetido?

Ajuda

Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se

• um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
• um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
• um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 \, [/tex] maneiras,
• [tex]\cdots[/tex]
• um evento Ek puder ocorrer de [tex]m_k [/tex] maneiras

e todos esses eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que os [tex]k[/tex] eventos ocorrem ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .[/tex] (Se você não se lembra desse Princípio, clique AQUI.)

Solução

Quando analisamos os números naturais com cinco algarismos, podemos dividi-los em dois grupos disjuntos:

• os que não têm algarismos repetidos,
• os que têm, pelo menos, um algarismo repetido.

Assim, se [tex]T[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos, [tex]S[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos sem algarismos repetidos e [tex]R[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos com pelo menos um algarismo repetido, então [tex]T=R+S.[/tex] Dessa forma, uma das maneiras de resolvermos o problema é determinarmos [tex]T[/tex] e [tex]S[/tex] e fazermos a diferença [tex]T-S.[/tex]

• Quantidade de números naturais com cinco algarismos

Observe que em um número com cinco algarismos:

► temos [tex]9[/tex] possibilidades para a primeira posição: [tex]1 \, , \, 2 \, , \, \cdots \, , \, 9[/tex], já que essa posição não pode ser ocupada pelo zero (por exemplo, o número [tex]05273[/tex] tem quatro e não cinco dígitos);
► para cada uma das demais posições, temos [tex]10[/tex] possibilidades: [tex]0 \, , \, 1 \, , \, 2 \, , \, \cdots \, , \, 9.[/tex]

[tex]\begin{array}{c c c c c }
\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }} &\underline{\text {10 escolhas }}\\
\text{ dezena de milhar }&\text{ unidade de milhar }&\text{ centena }&\textrm{ dezena } & \textrm{ unidade }
\end{array}[/tex]

Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem [tex]9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=90 \, 000[/tex] números naturais com cinco algarismos e, portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#cfdef9}{$T=90 \, 000 \, $} \, .[/tex]

• Quantidade de números naturais com cinco algarismos, sem algarismos repetidos

Observe que em um número com cinco algarismos:

► Para o primeiro dígito temos as opções: [tex] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex]. São nove opções.
► Para o segundo dígito temos as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto o algarismo que foi usado para o primeiro dígito: nove opções.
► Para o terceiro dígito temos as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram usados no primeiro e no segundo dígitos: oito opções.
► Para o quarto dígito temos novamente as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram usados no primeiro, no segundo e no terceiro dígitos: sete opções.
► Para o quinto dígito temos também as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram utilizados nos primeiros dígitos. São [tex] \, 10-4=6 \, [/tex] opções.

[tex]\begin{array}{c c c c c }
\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 8 escolhas }}&\underline{\text{ 7 escolhas }} &\underline{\text {6 escolhas }}\\
\text{ dezena de milhar }&\text{ unidade de milhar }&\text{ centena }&\textrm{ dezena } & \textrm{ unidade }
\end{array}[/tex]

Utilizando mais uma vez o Princípio Fundamental da Contagem, concluímos que existem [tex]9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 =27 \, 216[/tex] números naturais com cinco algarismos não repetidos e, portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#cfdef9}{$S=27 \, 216 \, $} \, .[/tex]

• Finalizando, temos então [tex] \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$R= 90 \, 000 \, – \, 27 \, 216 = 62 \, 784 \, $} \, [/tex] números de cinco dígitos com pelo menos um algarismo repetido.

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