Quantos números de cinco algarismos são maiores que 71265

Análise Combinatória

1 - Quantos números de cinco algarismos existem?
2 - Quantos números ímpares de cinco algarismos existem?
3 - Quantos números pares de cinco algarismos distintos existem?

Por favor, explicar cada passo a passo e sua lógica.

tonnis9Padawan

Re: Análise Combinatória

Bom, é o seguinte:

1--> Veja que são 9 possiblidades na primeira casa, pois se colocarmos o zero, o número não terá mais 5 algarismos. Como os números podem ter algarismos iguais (não distintos), há 10 possibilidades para cada uma das outras casas.

2--> Mesmo procedimento com a primeira casa, mas na última temos apenas 5 possiblidades para garantir que o número será ímpar (1, 3, 5, 7 e 9). Os números, também, podem repetir.

3--> Mesmo procedimento com a primeira casa e na última só que, agora, para os algarismos que tornam o número par, que também são 5 (0, 2, 4, 6, 8 ). Mas, agora, os números tem que ser distintos, logo, usamos 1 algarismo na primeira e não podemos repetir ele na segunda casa, porém o zero pode ser usado. Então ficaria o 8 na segunda casa, porém tem o zero, então 8+1 = 9. A partir daí vamos tirando, ou seja, usei 1 na primeira, 9 possibilidades na segunda ( Zero), 8 na terceira e 7 na quarta.

Re: Análise Combinatória

MUITO BOA A EXPLICAÇÃO, MUITO OBRIGADO!

tonnis9Padawan

Re: Análise Combinatória

Para o item C parece que há necessidade de uma correção

a) Números pares terminados por 0:

___ __ ___ ___ 0
9 .... 8 ...7 ..... 6 ----> N' = 3 024

b) Números terminados por 2, 4, 6, 8 (o 1º algarismo não pode ser 0 nem o último algarismo)

___ ___ ___ ___ ___
8 ..... 8 .... 7 .... 6 ...

4 ................. N" = 4*(8*8*7*6) -----> N" = 10 752

N = N' + N" ----> N = 13 776

Re: Análise Combinatória

Agora eu que fiquei confuso! Gostaria que explicasse quais os números repetidos na resolução de "jojo".

Re: Análise Combinatória

Elcioschin escreveu:Para o item C parece que há necessidade de uma correção

a) Números pares terminados por 0:

___ __ ___ ___ 0
9 .... 8 ...7 ..... 6 ----> N' = 3 024

b) Números terminados por 2, 4, 6, 8 (o 1º algarismo não pode ser 0 nem o último algarismo)

___ ___ ___ ___ ___
8 ..... 8 .... 7 .... 6 ...

4 ................. N" = 4*(8*8*7*6) -----> N" = 10 752

N = N' + N" ----> N = 13 776

Elcio, eu não entendi o que o senhor percebeu de errado.

Re: Análise Combinatória

Reveja as restrições:

● O último algarismo deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8;
● O 1º algarismo não pode ser 0 nem igual ao último.

Isso cria um problema na contagem, qual seja: se meu último algarismo for um par diferente de zero, tenho 8 possibilidades para o 1º; se, porém, meu último algarismo for zero, tenho 9 possibilidades para o 1º. Daí a necessidade de dividir em subcasos.

Ao fazer

9 * 9 * 8 * 7 * 5 o jojo ignora esse detalhe, e por conseguinte chega a uma resposta equivocada.

Re: Análise Combinatória

Obrigado, Robson Jr. Já entendi qual foi o erro.

Re: Análise Combinatória

Ressucitando o tópico.

No gabarito do livro que possuo a letra C está errado.

a) 90.000
b) 45.000
c) 28.734
   De 0 a 9, o maior é nove, pois a possibilidade que tem de ser maior que 71265. 
C) 99999 - 71265 = 28734

RamonLucasEstrela Dourada

Re: Análise Combinatória

O gabarito do seu livro está errado: ele não levou em conta que os algarismos devem ser distintos

Vou explicar novamente:

C) Os números de cinco algarismos devem ser pares e distintos

São cinco os números pares: 0, 2, 4, 6, 8. Temos duas possibilidades:

1) O algarismo das unidades é 0: __ __ __ __ 0

Existem 9 possibilidades para o algarismo da esquerda (não pode ser 0)
Existem 8 para a casa dos milhares (não pode ser 0 nem o algarismo da esquerda)
Existem 7 para a casa das centenas (diferentes dos três já escolhidos)
Existem 6 para a casa das dezenas (diferentes dos quatro já escolhidos)
Total de algarismos = 9.8.7.6 = 3 024

2) O algarismo das unidades é 2, 4, 6, 8 ---> 4 possibilidades

O algarismo da esquerda NÃO pode ser 0 nem igual ao da direita. Existem, pois 8 possibilidades.

Para a casa dos milhares não pode ser igual ao da direita nem ao da esquerda: 8 possibilidades

Para a casa das centenas existem 7 possibilidades e para a das dezenas 6 possibilidades.

Total = 8.8.7.6.4 =

10 752 

Total geral de números pares de cinco algarismos = 3 024 + 10 752 = 13 776

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