Quantos anagramas tem a palavra escola tem as vogais e as consoantes alternadas?

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• Quantos anagramas da palavra escola tem as vogais e consoantes alternadas?
• Qual o número de anagramas da palavra escola?
• Quantas consoantes tem a palavra escola?
• Quantos são os anagramas da palavra escola que terminam em vogal?

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Solução: 
a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições 
disponíveis. 
Assim: 
 
Ou então, P8 = 8 ! = 40.320 anagramas 
 
b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A; 
assim, devemos distribuir as 7 letras restantes em 7 
posições, Então: 
 
c) Como as 3 primeiras posições ficam ocupadas 
pela sílaba TRE, devemos distribuir as 5 letras restan-
tes em 5 posições. Então: 
 
d) considerando a sílaba TRE como um único 
elemento, devemos permutar entre si 6 elementos, 
 
e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo 
considerado as letras T, R, E como um único elemento: 
 
 
Devemos também permutar as letras T, R, E, pois 
não foi especificada a ordem : 
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Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E 
podem ser dispostas de P3 maneiras. Assim, para P6 
agrupamentos, temos 
P6 . P3 anagramas. Então: 
P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas 
 
f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 
consoantes. Assim: 
 
Exercícios 
1) Considere a palavra CAPITULO: 
a) quantos anagramas podemos formar? 
b) quantos anagramas começam por C? 
c) quantos anagramas começam pelas letras C, A 
e P juntas e nesta ordem? 
d) quantos anagramas possuem as letras C, A e P 
juntas e nesta ordem? 
e) quantos anagramas possuem as letras C, A e P 
juntas? 
f) quantos anagramas começam por vogal e ter-
minam em consoante? 
2) Quantos anagramas da palavra MOLEZA 
começam e terminam por vogal? 
3) Quantos anagramas da palavra ESCOLA 
possuem as vogais e consoantes alternadas? 
4) De quantos modos diferentes podemos dispor 
as letras da palavra ESPANTO, de modo que as 
vogais e consoantes apareçam juntas, em 
qualquer ordem? 
5) obtenha o número de anagramas formados com 
as letras da palavra REPÚBLICA nas quais as 
vogais se mantenham nas respectivas posições. 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS RE-
PETIDOS 
 
Dados n elementos, dos quais : 
1α são iguais a 
 
2α são iguais a 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 rα são iguais a 
 
 sendo ainda que: r2 1 . . . ααα +++ = n, e indicando-
se por ) . . . , ,(p r21n ααα o número das permutações 
simples dos n elementos, tem-se que: 
 
 
Aplicações 
1) Obter a quantidade de números de 4 algarismos 
formados pelos algarismos 2 e 3 de maneira 
que cada um apareça duas vezes na formação 
do número. 
 
Solução: 
os números são 



3223 3232 3322
2332 2323 2233
 
 
A quantidade desses números pode ser obtida por: 
 
( ) números 6
1 2 ! 2
! 2 3 4
! 2 ! 2
! 4P 2,24 =
⋅⋅
⋅⋅
== 
 
2) Quantos anagramas podemos formar com as 
letras da palavra AMADA? 
solução: 
Temos: 
 
 Assim: 
 
 
( ) anagramas 20 
! 3
! 3 4 5
 
! 1 ! 1 ! 3
! 5
 p 1,1,35 =
⋅⋅
== 
 
3) Quantos anagramas da palavra GARRAFA 
começam pela sílaba RA? 
 
Solução: 
Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 
5 letras para serem permutadas, sendo que: 
 
 
Assim, temos: 
( ) anagramas 60 
! 2
! 2 3 4 5
 p 1,1,25 =
⋅⋅⋅
= 
 
Exercícios 
1) O número de anagramas que podemos formar 
com as letras da palavra ARARA é: 
a) 120 c) 20 e) 30 
b) 60 d) 10 
 
2) O número de permutações distintas possíveis 
com as oito letras da palavra PARALELA, 
começando todas com a letra P, será de ; 
a) 120 c) 420 e) 360 
b) 720 d) 24 
 
3) Quantos números de 5 algarismos podemos 
formar com os algarismos 3 e 4 de maneira que 
o 3 apareça três vezes em todos os números? 
a) 10 c) 120 e) 6 
b) 20 d) 24 
 
4) Quantos números pares de cinco algarismos 
podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 
2, 2 e 3, respeitadas as repetições 
apresentadas? 
a) 120 c) 20 e) 6 b) 24 d) 12 
 
5) Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA 
1 13
D M A A,,A
 
{{{
1121
F R AA, G
1
11 11 a ., . . , a ,a a
α
→
2
2222 a , . . . ,a ,a a
α
→
r
rrrr a , . . . ,a ,a a
α
→
! . . . ! ! 
! n) . . . , ,(p
r1
r21n ααα
ααα = 
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terminam pela sílaba MA? 
a) 10 800 c) 5 040 e) 40 320 
b) 10 080 d) 5 400 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
Introdução: 
Consideremos as retas determinadas pelos quatro 
pontos, conforme a figura. 
 
Só temos 6 retas distintas ,CD ,BC ,AB( 
)AD e BD ,AC porque , . . . ,BA e AB DC e CD represen-
tam retas coincidentes. 
 
Os agrupamentos {A, B}, {A, C} etc. constituem 
subconjuntos do conjunto formado por A, B, C e D. 
 
Diferem entre si apenas pelos elementos 
componentes, e são chamados combinações simples 
dos 4 elementos tomados 2 a 2. 
 
O número de combinações simples dos n elementos 
tomados p a p é indicado por Cn,p ou 





p
n
. 
 
OBSERVAÇÃO: Cn,p . p! = An,p. 
 
Fórmula: 
 
Aplicações 
1) calcular: 
a) C7,1 b) C7,2 c) C7,3 d) C7,4 
 
Solução: 
a) C7,1 = 7! 6
! 6 7
! 6 ! 1
! 7
=
⋅
= 
b) C7,2 = 21! 5 1 2
! 5 6 7
! 5 ! 2
! 7
=
⋅⋅
⋅⋅
= 
c) C7,3 = 35! 4 1 2 3
! 4 5 6 7
! 4 ! 3
! 7
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
= 
d) C7,4= 35
 1 2 3 ! 4
! 4 5 6 7
! 3 ! 4
! 7
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
= 
 
2) Quantos subconjuntos de 3 elementos tem um 
conjunto de 5 elementos? 
ossubconjunt 10
1 2 ! 3
! 3 4 5
! 2 ! 3
! 5
 C5,3 =
⋅⋅
⋅⋅
== 
 
3) obter n, tal que 
3
4
C
C
n,2
n,3
= 
Solução: 
∴=⋅⇒=
3
4
! n
! ) 2- n ( ! 2
 ) 3 - n ( ! 3 
! n
 
3
4
! ) 2 - n ( ! 2
! n
! ) 3 - n ( ! 3
! n
 
42-n 
3
4
! ) 3 - n ( 2 3
! ) 3 - n ( ) 2 - n ( 2 
=∴=
⋅⋅
⋅
∴ 
 
 convém 
 
 
4) Obter n, tal que Cn,2 = 28. 
 
Solução: 
∴=
−
⇒= 56
! )2(
! ) 2 -n ( ) 1 -n ( 28)! 2 -n ( ! 2
!n 
n
n
 
 
n = 8 
n2 – n – 56 = 0 
 
 n = -7 (não convém) 
 
5) Numa circunferência marcam-se 8 pontos, 2 a 2 
distintos. Obter o número de triângulos que po-
demos formar com vértice nos pontos indicados: 
 
Solução: 
Um triângulo fica identificado quando escolhemos 3 
desses pontos, não importando a ordem. Assim, o nú-
mero de triângulos é dado por: 
 56
! 5 . 2 3
! 5 . 6 7 8
! 5 ! 3
! 8C8,3 =
⋅
⋅⋅
== 
 
6) Em uma reunião estão presentes 6 rapazes e 5 
moças. Quantas comissões de 5 pessoas, 3 ra-
pazes e 2 moças, podem ser formadas? 
 
Solução: 
Na escolha de elementos para formar uma 
comissão, não importa a ordem. Sendo assim : 
• escolher 3 rapazes: C6,3 = ! 3 ! 3
! 6
= 20 modos 
• escolher 2 moças: C5,2= 3! 2!
! 5
 = 10 modos 
 
Como para cada uma das 20 triplas de rapazes te-
Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se combi-
nação simples dos n elementos de /, tomados p a p, a 
qualquer subconjunto de p elementos do conjunto l. 
n = 6 
lN } n p, { e np ,
! ) p - n ( ! p
! n
 C p, n ⊂≤= 
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mos 10 pares de moças para compor cada comissão, 
então, o total de comissões é C6,3 . C5,2 = 200. 
 
7) Sobre uma reta são marcados 6 pontos, e sobre 
uma outra reta, paralela á primeira, 4 pontos. 
a) Quantas retas esses pontos determinam? 
b) Quantos triângulos existem com vértices em 
três desses pontos? 
 
Solução: 
a) C10,2 – C6,2 – C4,2 + 2 = 26 retas onde 
 
C6,2 é o maior número de retas possíveis

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