Quanto maior a massa do corpo a energia cinética aumenta ou diminui?

A massa é uma grandeza conservada?

Ao longo do tempo, no desenvolvimento da Física e da Química, energia e massa sempre foram consideradas grandezas de naturezas bem diferentes.

É claro que pode existir uma relação direta entre elas. Por exemplo, a energia cinética de um corpo com velocidade

onde

No entanto,  no que se refere às leis de conservação,  energia e  massa sempre foram consideradas separadamente  até os primeiros anos do século XX.

No período do desenvolvimento da atomística, químicos como  Antoine Lavoisier concluíram que a massa era uma quantidade conservada, ou seja, ela é mesma antes e depois de uma reação química. Nessas reações,  átomos e moléculas originais interagem, criando novos átomos e moléculas. No entanto, verificava-se empiricamente que a massa total permanecia a mesma.  É neste contexto histórico que foi enunciado o princípio da conservação da massa.

Atualmente, sabemos que nessas reações químicas e interações subatômicas, uma parcela  da massa é convertida em outras formas de energia e vice-versa, ou seja, a massa não é uma grandeza conservada. No entanto, como a diferença de massa  é  uma insignificante parcela da massa total do sistema, balanças e outros equipamentos de laboratório da época não eram capazes de detectá-la.

Com os dados precisos disponíveis atualmente, podemos ter uma ideia da conversão de massa em energia fazendo alguns cálculos que envolvem núcleos atômicos simples. Como exemplo, vamos pegar o deutério, um isótopo do átomo de hidrogênio (possui o mesmo número de prótons do hidrogênio, que é um, mas diferentes números de nêutrons). Além do próton, que constitui o núcleo do hidrogênio, o núcleo do deutério (conhecido como dêuteron), possui também um nêutron,

A massa do próton é

Somando-se as massas do próton e nêutron, encontramos

Por outro lado,  a massa do dêuteron é

Ou seja, a soma das massas dos constituintes do dêuteron é maior do que a massa do próprio dêuteron:

Afinal, para onde vai a diferença de massa? Poderíamos inferir que ela simplesmente desaparece e concluirmos que massa não é uma grandeza conservada em sistemas envolvendo partículas subatômicas.

No entanto, hoje sabemos que essa diferença se encontra na forma de energia de ligação que mantém coesos o próton e o nêutron no núcleo. Ou seja, uma parte da massa passa a se manifestar em forma de energia!

Igualmente fascinante é a massa do próprio próton. De acordo com o chamado modelo de pártons da física de partículas e da cromodinâmica quântica (QCD), o próton não é uma partícula fundamental. Ele é constituído por partículas supostamente fundamentais, os quarks. A distâncias muito pequenas, ele é um objeto bem mais complexo por conta da flutuação do vácuo da mecânica quântica, mas é bem fundamento que dois quarks chamados up (u) e chamado down (d) são os constituintes básicos. É espantoso saber que esses quarks juntos possuem massa total  da ordem de 1% da massa do próton!

De onde vem 99% da massa do próton? Da energia de ligação, que no caso  trata-se da chamada interação forte.

Para mais detalhes sobre Física das Partículas, sugerimos o site Dinâmica das Interações Fundamentais, da autoria do Prof. Felipe Ponciano de Novaes, acessível aos alunos do ensino médio.

Teoria da relatividade e a equivalência massa-energia

Conforme exemplos acima, é fato consumado que o princípio da conservação de massa, enunciado por  Lavoisier e outros, falha. Afirmamos acima que a diferença de massa se transforma em energia de ligação. No entanto, é possível que massa possa se transformar em energia e vice-versa?

Em 1905, Albert Einstein apresentou a sua teoria da relatividade especial. Uma das predições dessa teoria é a famosa fórmula

que representa a equivalência  entre massa  e energia.

Mediante essa equação,  é possível que massa possa ser convertida em energia e energia possa ser convertida em massa. Assim, o princípio da conservação de energia continua válida, mas temos que acrescentar a massa como uma nova forma de energia.

Mas a pergunta é: como Einstein concluiu que

Vamos focar aqui apenas na equivalência entre massa e energia prevista pela Teoria da Relatividade Especial.  Caso queira conhecer melhor  a teoria de Einstein  indicamos o site Relatividade Restrita,  da autoria do Prof. Ricardo Vieira Pereira, que possui uma linguagem acessível a alunos do ensino médio.

No contexto da Mecânica Clássica, discutimos o teorema trabalho-energia cinética (para relembrar, clique no link Trabalho e Forças Conservativas). Relembrando, o trabalho realizado por uma força

Para uma partícula se deslocando em linha reta sob ação de uma força resultante variável ao longo do eixo

onde escrevemos a segunda lei de Newton em termos da variação do momento linear, conforme discutido na página  Momento linear e sua conservação.

Para dar conta dos efeitos relativísticos, a expressão do momento linear de uma partícula de massa

onde

é o chamado fator de Lorentz.

Alguns  atribuem a quantidade

Por simplicidade, vamos tomar um movimento retilíneo e utilizar a relação escalar

Substituindo a expressão acima na integral e fazendo

Reescrevendo a equação acima  numa forma mais sugestiva,

onde identificamos o termo à esquerda como sendo a energia total da partícula:

Se

É daí que vem a famosa equação de Einstein;

No limite não relativístico,

Para

Substituindo a aproximação  na equação  da energia:

ou seja, recuperamos  a equação clássica para a energia cinética:

Podemos relacionar a energia total com o momento relacionando as equações

Devemos elevar as duas equações ao quadrado, em seguida multiplicar a equação do momento ao quadrado por

de forma que

Podemos fazer duas observações acerca da equação acima:

• Ela mostra que quando o objeto está em repouso,
  
  , e portanto a energia do sistema é
  
  . Nada de novo, pois este resultado já foi obtido acima.
• A equação permite calcular a energia para partículas que possuem massa nula. No caso, sabemos que o fóton , que é o quanta da onda eletromagnética, é uma partícula fundamental de massa nula. Para o fóton,

     

  

  De acordo com a teoria da relatividade, como o fóton possui massa zero, não possui referencial de repouso. Logo, enquanto existir possuirá algum momento diferente de zero e  portanto energia diferente de zero também.

Exemplo 1: o decaimento do nêutron

A partir da expressão relativística

ou seja, ele desaparece e dá origem a um próton (

Vamos analisar a  massa total antes e depois do decaimento. Para esta finalidade, vamos expressar as massas das partículas em unidade de eV/c

onde MeV (leia-se mega elétron-volts)  é 

Temos que

Vamos supor que o nêutron se encontra em repouso. Neste caso, considerando-se que a energia total relativística se conserva no processo de decaimento, tem-se

Logo,

Ou seja, a diferença de massa vezes

Colisões Relativísticas

Assim como  numa colisão clássica,  o momento linear se conserva numa colisão relativística. No entanto, há três detalhes importantes a observar:

• O momento linear da partícula é dada pela Eq. (2)
• A energia total é sempre conservada numa colisão relativísitica. Na equação da conservação de energia, não se esquecer da Eq. (1). Massa é energia!
• Assim como na colisão clássica, quando a energia cinética total se conserva, estamos falando de uma colisão elástica.
  Observa-se no entanto, que essa situação só ocorre quando a massa total se conservar. Basicamente, nessas colisões, as partículas que interagem permanecem as mesmas.

Vale lembrar também que as conservações do momento linear e da energia total ocorrem também em processos de decaimento.

Exemplo 2: o decaimento do píon

O píon (

Para ser mais exato, há três tipos de píons, cuja principal diferença entre eles é a carga elétrica:

Um

Se píon se encontra em repouso, qual a velocidade com que o múon é produzido?

Conforme visto acima, é totalmente razoável desprezarmos a massa do neutrino, pois tanto o píon como o múon possuem massas muito maiores:

Pela conservação do momento linear,

Usando

Pela conservação de energia, sabendo-se que o píon está em repouso:

Substituindo

Podemos determinar o módulo do momento linear do múon usando a relação energia-momento,

Vamos escrever as equações (2) e (3), dadas acima, que são respectivamente

Dividindo a primeira pela segunda, obtemos

Utilizando os dados das massas do píon e do múon, obtemos

Evidentemente, como consideramos

No exemplo 1, consideramos o decaimento do nêutron, dado pelo processo

Poderíamos ter usado as conservações de energia e momento linear nesse decaimento e obter a velocidade do próton?

Em princípio, sim. No entanto, esse é um processo que envolvem três corpos no estado final. Como há mais variáveis do que equações, a velocidade do próton, assim como a sua energia, não possui um valor único. Se conhecermos os detalhes da interação entre as partículas, podemos determinar o espectro de energia do próton advindo do nêutron.