Quantas diagonais partem de cada vértice de um polígono convexo de n lados

Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta ligados um ao outro pelo seu ponto inicial e final. Para ser polígono, a figura deve ser fechada e os segmentos de reta que a compõem não podem se cruzar.

São elementos pertencentes ao polígono:

1 – Segmentos de reta chamados de lados. Na figura, eles são AB, BC, … e HA;

2 – Pontos de encontro entre esses lados, isto é, os vértices. Na figura, são os pontos A, B, … e H;

3 – Ângulos internos do polígono. Na figura, é o ângulo de 135°;

4 – Ângulos externos do polígono. Na figura, é o ângulo de 45°;

5 – Diagonais. Na figura, são os segmentos pontilhados.

A figura acima mostra que, partindo do vértice F, podem ser construídas cinco diagonais. Não podem ser construídas mais que cinco porque a diagonal é um segmento de reta que se inicia em um vértice de um polígono e termina em outro vértice não consecutivo ao vértice inicial do mesmo polígono.

Dessa forma, para desenhar todas as diagonais de um polígono, basta ligar todos os seus vértices. Aqueles que já são lados não podem ser considerados diagonais. A figura seguinte mostra pontilhadas todas as diagonais de um octógono.

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Para saber quantas diagonais determinado polígono possui, podemos desenhá-las e contá-las ou apenas utilizar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono:

D = n(n – 3)
      2

*n é o número de lados do polígono.

Vamos testar a funcionalidade dessa fórmula. Vejamos o número de diagonais do quadrado:

Um quadrilátero possui apenas duas diagonais. Vamos utilizar a fórmula para verificar essa informação:

D = 4(4 – 3)
      2

D = 4·1
      2

D = 2

Vejamos para o pentágono:

Um pentágono possui cinco diagonais. Vejamos se a fórmula resulta nesse mesmo número:

D = 5(5 – 3)
      2

D = 5·2
      2

D = 10
      2

D = 5

Vale ressaltar que desenhar um polígono que possui 25 lados não é tarefa fácil e desenhar suas 275 diagonais é uma tarefa mais difícil ainda. A contagem dessas diagonais pode ser muito confusa, mas o cálculo é exato e não oferece margem de erro.

D = 25(25 – 3)
      2

D = 25·22
     2

D = 25·11

D = 275

Dado um polígono convexo qualquer, diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos (ou adjacentes).

Exemplos:

Um triângulo não possui diagonais, pois, como só possui três vértices, não é possível unir dois vértices não consecutivos.

Cálculo do número de diagonais

Vamos aprender a calcular o número de diagonais de um polígono convexo qualquer.

Basta observar os exemplos:

Na figura 1, temos 5 vértices no total. Do vértice A, podemos traçar diagonais para os vértices C e D, que não são adjacentes a ele. Do vértice B, podemos traçar diagonais para os vértices D e E, seus não adjacentes. Assim, de cada vértice, é possível traçar 2 diagonais, pois são 5 vértices, menos 2 adjacentes e o próprio vértice considerado.

Se pensássemos em 2 diagonais por vértice, teríamos 2 x 5 = 10 diagonais. No entanto, podemos observar só 5. Isso ocorre porque as diagonais AD e DA são a mesma diagonal.

Na figura 2, ocorre a mesma coisa: temos 4 vértices e, descontando, para cada vértice, os dois vértices adjacentes e o próprio vértice considerado, teremos 1 diagonal por vértice e 4 x 1 = 4 diagonais ao todo. No entanto, só temos 2, pelo mesmo motivo da figura 1.

Na figura 3, são 6 vértices ao todo. Se descontarmos, para cada vértice, 3 vértices para onde não podemos traçar diagonais, teremos 3 diagonais por vértice e 6 x 3 = 18 diagonais ao todo. No entanto, só podemos observar 9.

Na figura 4, são 7 vértices ao todo. Se descontarmos, para cada vértice, 3 vértices para onde não podemos traçar diagonais, teremos 4 diagonais por vértice e 7 x 4 = 28 diagonais ao todo. No entanto, só podemos observar 14.

A partir desses exemplos, podemos observar a regularidade e generalizar, para qualquer polígono.

Assim, para um polígono convexo qualquer, podemos achar o número de diagonais d a partir do número n de vértices da seguinte forma:

- descontando de n os 3 vértices para onde não podem ser traçadas diagonais (os 2 adjacentes e ele mesmo): n - 3;
- multiplicando o resultado obtido pelo número de vértices: n . (n - 3) ;
- dividindo o resultado obtido por 2, devido às diagonais repetidas:

Assim, a fórmula que calcula o número de diagonais de um polígono convexo qualquer é:

Quantas são as diagonais de um polígono convexo de n?

Quantas diagonais partem de cada vértice desse polígono?

Quais são as diagonais de um polígono convexo?

Quantos lados tem um polígono de n lados?