Os triângulos são os polígonos convexos com o menor número de lados possíveis. Dentre as mais diversas aplicações, os resultados principais que envolvem triângulos são a trigonometria e o
Teorema de Pitágoras. A fim de facilitar a resolução de exercícios, é comum indicarmos os vértices de um triângulo por letras maiúsculas. Na figura abaixo, temos o triângulo \( ABC\). 📚 Você vai prestar o Enem? Estude de graça com
o Plano de Estudo Enem De Boa 📚 Podemos classificar um triângulo de dois modos: seja pela medida dos lados ou seja pela medida de seus
ângulosinternos. Um triângulo, em relação às medidas de seus lados pode ser classificado como:
No caso do triângulo equilátero, podemos mostrar que os três ângulos internos também têm a mesma medida. O lado com a medida diferente em um triângulo isósceles é chamado de
base do triângulo e os ângulos da base têm a mesma medida, conforme ilustra a figura a seguir. Dentre os valores dos ângulos internos de um triângulo, temos as seguintes
classificações:
Em qualquer polígono, o lado oposto ao ângulo interno de maior medida é também o maior lado. Assim, em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é o lado de maior medida e é chamado de hipotenusa e os outros dois lados restantes são definidos como os catetos do triângulo. Ângulos de um triânguloÂngulos internos de um triânguloÉ possível mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°. Tal resultado vale para qualquer triângulo, não importa o formato dele e tão pouco as medidas de seus lados. É por causa desse resultado que é impossível haver mais de um ângulo interno que seja reto ou obtuso em um triângulo; ou seja, teremos sempre apenas três possibilidades: ou se tem apenas ângulos agudos ou um único ângulo reto e dois agudos ou um único ângulo obtuso e dois agudos, que nada mais são que as classificações listadas anteriormente quanto às medidas dos ângulos internos. A partir do resultado da soma dos ângulos internos de um triângulo, consideremos um triângulo equilátero. Temos que as medidas de seus ângulos internos são iguais entre si: E como a soma dele é igual a 180°, temos: $$ x+x+x=180º\Rightarrow 3x=180º$$ Ou seja, em todo triângulo equilátero, a medida de cada ângulo interno vale 60°. Se considerarmos um triângulo retângulo isósceles, então os dois ângulos agudos serão iguais entre si: Assim, a medida de cada ângulo agudo nesse caso será de 45°. Tomemos agora um triângulo retângulo qualquer: Como a soma dos ângulos internos é igual a 180°, então: $$ x+y+90º=180º\Rightarrow x+y=90º$$ Ou seja, concluímos que a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo sempre vale 90°, isto é, eles são complementares. Ângulo externo de um triânguloUm ângulo externo de um triângulo qualquer é aquele que se forma quando prolongamos um dos seus lados, conforme ilustra a figura abaixo. É possível observar que a soma entre um ângulo externo e o interno adjacente a ele vale 180°, ou seja, eles são suplementares. Usando tal resultado com o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois internos não adjacentes a ele: Área de um triânguloÁrea em função da base e da alturaSe a base de um triângulo tiver medida \( b\) e sua altura medir \( h\), então a área é dada por $$ A=\frac{b\cdot h}{2}$$ Área de um triângulo equiláteroUm caso particular de área de triângulo é quando ele tiver os três lados iguais medindo \( \ell\). Então sua área será $$ A=\frac{\ell^{2}\sqrt{3}}{4}$$ Área em função dos ladosSe os lados de um triângulo medem \( a,b,c\) então seu semiperímetro é igual a $$ p=\frac{a+b+c}{2}$$ e sua área é dada por $$ A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ A fórmula acima é conhecida como Fórmula de Herão. Área em função de um ângulo e dois ladosSe dois lados de um triângulo medem \( a, b\) e se \( \theta\) for a medida do ângulo que se forma entre eles, então a área do triângulo é igual a $$ A=\frac{a\cdot b\cdot\sin\theta}{2}$$ Área em função do raio da circunferência inscritaCaso \( p\) seja o semiperímetro do triângulo e \( r\) a medida do raio da circunferência inscrita, então $$ A=p\cdot r$$ Área em função do raio da circunferência circunscritaSendo \( R\) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo com lados medindo \( a,b,c\) então a sua área vale $$ A=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}$$ FórmulasExercício de fixação MACKENZIE Na figura, \( ABCD\) é um quadrado e \( APD\) é um triângulo equilátero. A medida do ângulo \( \alpha\) é: A 65º B 55º C 80º D 60º E 75º Quais são os ângulos internos de um triângulo?Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos internos mede 180º. Os triângulos possuem uma propriedade particular muito interessante relativa à soma de seus ângulos internos. Essa propriedade garante que em qualquer triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180 graus.
Como nomear os ângulos internos de um triângulo?3 – Triângulo equilátero: triângulo que possui todos os lados com medidas iguais. 4 – Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos internos menores que 90°. 5 – Triângulo obtusângulo: possui exatamente um ângulo interno maior que 90°. 6 – Triângulo retângulo: possui exatamente um ângulo interno igual a 90°.
Qual é o nome de todos os triângulos?A fim de facilitar o estudo acerca desse polígono, vamos classificá-lo em relação ao tamanho dos lados (equilátero, isósceles e escaleno) e às medidas de seus ângulos internos (retângulo, acutângulo e obtusângulo).
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